Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Как понимать середину и края

После того как мы дали нашей пропорции особенное название, остается объяснить, как следует понимать середину и края в любом количестве и какие условия должны быть выполнены для них для получения божественной пропорции. Для этого мы должны знать, что между тремя членами одного и того же типа обязательно имеются две основных связи или пропорции, а именно: одна — между первым и вторым членами, и другая — между вторым и третьим. Например, пусть имеются три количества одного и того же типа, и мы не видим никаких соотношений между ними. Пусть первое будет а, в числах равное 9, второе — Ь, равное 6, третье — с, равное 4.

Я утверждаю, что между ними имеются две пропорции: одна от а до Ь, то есть от 9 до 6, которую мы в нашей работе называем полуторной, когда больший член содержит меньший и его половину, так как 9 содержит 6 и еще 3, половину от 6, поэтому мы называем ее полуторной. Существует также пропорция от второго, Ь, до третьего, с, то есть от 6 до 4, еще одна полуторная пропорция. Подобны они или нет, нас в данный момент не интересует, потому что мы намерены только показать, что между тремя членами одного и того же рода обязательно имеются две пропорции. Я утверждаю также, что наша божественная пропорция соблюдает одни и те же условия, а именно: между тремя ее членами — средним и двумя крайними — всегда содержатся две пропорции и всегда одного и того же обозначения. И в других пропорциях, будь они непрерывными или обособленными, это происходит бесконечно разными способами, потому что иногда между тремя членами она будет двойной, иногда тройной, и так далее для всех общих типов. Но между серединой и краями нашей пропорции не может быть никаких вариаций, как мы далее увидим (…).

Поэтому мы должны знать, чтобы уметь распознать ее среди различных количеств, что между тремя ее членами обязательно имеется непрерывная пропорциональность, а именно: произведение меньшего члена на сумму меньшего и среднего равно квадрату среднего, и, следовательно, данная сумма обязательно будет ее большим членом. И когда мы находим три количества любого типа, упорядоченных таким образом, мы утверждаем, что они находятся в крайнем и среднем отношении, их больший член всегда равен сумме меньшего и среднего, так что можно сказать, что больший член является целым, разделенным на две части, то есть на меньший и средний члены этой группы. Следует заметить, что эта пропорция не может быть рациональной, ибо нельзя меньший член по отношению к среднему выразить каким-либо числом, даже если больший член рационален, поэтому они всегда будут иррациональны, как будет ясно из дальнейшего.