Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.)

Ряд чисел, представленный в этой задаче, и отношение, с которым он растет, впоследствии был назван «последовательностью Фибоначчи», хотя автор не знал, что она будет носить его имя, поскольку он, вероятно, получил это прозвище много столетий спустя. В самом деле, например, Кеплер упоминает «числа Пизанского» в работе, опубликованной в 1611 г. и описывающей их отношения сложным образом: «как 5 относится к 8, а 8 к 13, а 13 к 21».

Более ста лет спустя Жак Бине (1786–1856) вывел формулу для нахождения любого числа в последовательности Фибоначчи по его индексу. По формуле Бине мы можем найти, например, сто восемнадцатое число в последовательности Фибоначчи, не вычисляя предыдущих чисел. Вывод формулы Бине довольно сложен, поэтому мы расскажем о нем кратко, а затем дадим пример применения формулы.

Последовательность Фибоначчи определена рекуррентно, то есть мы должны вычислить несколько предшествующих членов, чтобы найти тот или иной член. Если числа Фибоначчи определяются по формулам

F₀ = 0

F₁ = 1

F_n = F_n-1 + F_n-2 для n = 2, 3, 4, 5

то эти уравнения определяют рекуррентное соотношение:

F_n+2 — F_n+1 — F_n = 0.

Заинтересованный читатель может обратиться к основному тексту книги, где шаг за шагом это соотношение приводится к отношению F_n+1/F_n, предел которого называется Ф, или золотой пропорцией. Там же появляется выражение

Ф = (1 + √5)/2,

которое является отправным пунктом последующих арифметических преобразований. Бине пришел к формуле

довольно трудоемким способом, который мы не будем здесь приводить.

Подставляя значение Ф в формулу , мы получим следующее выражение, содержащее действительные числа:

Список литературы

Conway, J. Н. and R. К. Guy: The Book of Numbers. New York, Copernicus, 1996.

Corbalan, F.: La Matematica Aplicada a la Vida Cotidiana. Barcelona, Grao, 1995.

Corbalan, F.: Numeros, Cultura у Juegos. Tu Mundo у las Matematicas. Madrid, Editorial Videocinco, 1996.

Corbalan, F.: Matematicas de la Vida Misma. Barcelona, Grao, 2007.

Ghyka, M.C.: Estetica de las Proporciones en la Naturaleza у en las Artes, Barcelona, Editorial Poseidon, S.L., 1977.

Издание на русском языке:

Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. — М.: Издательство Всесоюзной академии архитектуры, 1936.

Ghyka, М. С.: El Numero de Ого. I. Los Ritmos. II. Los Ritos. Barcelona, Poseidon, 1978.

Huntley, H.E.: The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York, Dover Publications, 1970.

Linn, C. F.: The Golden Mean: Mathematics and the Fine Arts. New York, Doubleday & Company, Inc., 1974.

Livio, М.: La Proporcion Aurea. Barcelona, Ariel, 2006.

Moreno, R.: Fibonacci. El Primer Matematico Medieval. Madrid, Nivola, 2004.

Pacioli, L.: La Divina Proporcion, Introduction A. M. Gonzalez. Madrid, Akal, 1987.

Steen, L. A. et al.: Matematicas en la Vida Cotidiana. Madrid, Addison-Wesley, UAM, 1999.

Wells, D.: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London, Penguin, 1991.

* * *

_{Научно-популярное издание}

_{Выходит в свет отдельными томами с 2014 года}

_{Мир математики}

_{Том 1}

_{Фернандо Корбалан}

 _{Золотое сечение. Математический язык красоты}

_РОССИЯ

_{Издатель, учредитель, редакция:}

_{ООО «Де Агостини», Россия Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1}

_{Письма читателей по данному адресу не принимаются.}

_{Генеральный директор: Николаос Скилакис}

_{Главный редактор: Анастасия Жаркова}

_{Старший редактор: Дарья Клинг}

_{Финансовый директор: Наталия Василенко}

_{Коммерческий директор: Александр Якутов}

_{Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук}

_{Менеджер по продукту: Яна Чухиль}

_{Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России: в 8-800-200-02-01. Телефон горячей линии для читателей Москвы: 8-495-660-02-02}

_{Адрес для писем читателей:}