Апология математики (сборник статей)

Что касается признания того, что сделал И. М. Виноградов, одним из крупнейших достижений современной математики, то оно бесспорно и не вызывает вопросов. Их вызывают две детали в приведённой цитате. Первая деталь – бросающееся в глаза отличие от того, что написано на с. 677. Если там говорится о решении проблемы Гольдбаха, то здесь – о решении её частного случая для нечётных чисел, т. е. о слабой проблеме Гольдбаха. Вторая деталь состоит в том, что даже для этого частного случая говорится не обо всех нечётных числах, а лишь о «достаточно больших». Уклончивые ответы, упомянутые выше, объяснялись, по-видимому, словами «по существу» из цитаты. В самом деле, нужно ведь только проверить все нечётные числа, предшествующие «достаточно большим», на предмет возможности их разложения, и слабая проблема действительно будет решена, а разница между «решена» и «будет решена» не так уж и существенна. Но для этого нужно знать, где начинаются «достаточно большие числа». В теоремах Виноградова таких оценок не приводится.

По счастью, оказалось, однако, что указанные оценки можно извлечь из доказательства указанных теорем. И хотя сам Виноградов не указал нижнего рубежа «достаточно больших чисел», это сделал его ученик Константин Григорьевич Бороздин. Он установил, что методом Виноградова слабая гипотеза Гольдбаха подтверждается для всех чисел, начиная с числа 3^14348907 (это есть 3 в степени 3¹⁵)[108]; десятичная запись этого числа занимает свыше 6,5 млн знаков. (Названное число приблизительно равно числу e, возведённому в степень e^16,573. В публикации 1956 г. [6] Бороздин слегка уточнил свою оценку, заменив показатель 16,573 на 16,038.) Чтобы слабая проблема Гольдбаха была решена, остается перебрать все нечётные числа, которые меньше порога, указанного Бороздиным, и для каждого из них выяснить, можно или нет разложить его на три простых слагаемых. Пока это человечеству не под силу. В 1989 г. китайские математики Ван и Чен [7] понизили этот порог до числа, требующего всего лишь примерно 43 тысячи десятичных знаков для своей записи, а именно до числа e, возведённого в степень e^11,503. Но и это число слишком велико для того, чтобы в наши дни – а возможно, и когда-либо в будущем – можно было перебрать и проверить все нечётные числа, меньшие указанного Ваном и Ченом рубежа.

Приходится признать, что сделанное в словаре [1, с. 677] заявление о решении проблемы Гольдбаха несколько преждевременно. В качестве одного из возможных объяснений того, почему оно вообще было сделано, можно предложить такое.

Статья об И. М. Виноградове в «Математическом энциклопедическом словаре» [1, с. 677] практически буквально повторяет одноимённую статью из 5-го тома 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Этот том вышел в 1971 г., при жизни Виноградова, скончавшегося в 1983 г. Директор Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (с 1932 г. и до конца жизни[109]), дважды Герой Социалистического Труда (звание было присвоено ему в 1945 и 1971 гг.), академик И. М. Виноградов был всемогущ и мстителен. Вне сомнений, текст статьи в Большой Советской Энциклопедии с ним согласовывался, и утверждение о том, что им решена проблема Гольдбаха, соответствовало его желаниям. Вот что пишет о Виноградове Сергей Петрович Новиков [8, с. 57]:

У математиков большое моральное влияние приобрёл Иван Матвеевич Виноградов. Он встал на путь антиинтеллигентности и доносничества в интересах своей карьеры ещё в 1929–1932 гг., а после войны вдобавок пошёл работать идеологом-антисемитом.

Как это ни печально, но роль личности влияет и на формулировки о степени разрешённости математических проблем.

Чтобы убедиться, что изложенный казус не представляет собою случайного исключения, заглянем в § 1 обзора А. О. Гельфонда [9] в фундаментальной 1044-страничной монографии «Математика в СССР за тридцать лет». Читаем:

Этот же глубокий метод позволил И. М. Виноградову [5] доказать, что всякое нечётное число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить тем самым знаменитую проблему Гольдбаха. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечётное простое число может быть представлено в виде суммы трёх нечётных простых слагаемых. Все попытки доказать это предположение до работ И. М. Виноградова были безуспешны.