Апология математики (сборник статей)

То, что любое число, разложимое на два простых числа, в то же время могло бы быть разбито и на любое число простых, может быть проиллюстрировано и подтверждено исходя из наблюдения, сообщённого мне Вами ранее, а именно: что каждое чётное число есть сумма двух простых чисел. В самом деле, если данное число n чётно, то оно есть сумма двух простых чисел, и так как n – 2 также является суммой двух простых чисел, то n также является суммой трёх, а также четырёх [простых] и т. д. Если же n нечётно, то оно же, разумеется, есть сумма трёх простых, потому что n – 1 есть сумма двух [простых], и может, следовательно, быть разложено на сколь угодно много [простых слагаемых]. А что каждое чётное число есть сумма двух простых, я почитаю вполне верной теоремой, хотя и не могу её доказать.

Текст оригинала (со с. 135 книги Фусса):

Dass eine jegliche Zahl, welche in zwei numeros primos resolubi lis ist, zugleich in quot, quis volueruit, numeros primos zertheilt wer den könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine sum ma duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n – 2 auch eine summa duo rum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quator u. s. f. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe ge wiss eine summa trium numerorum primorum, weil n – 1 eine sum ma duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.

Итак, в ответном письме Эйлера содержится гипотеза о возможности разложения каждого чётного числа на сумму двух простых чисел. При этом, как видим, вслед за Гольдбахом к простым числам Эйлер относит и 1, что забывают при обсуждении проблемы Гольдбаха едва ли не всегда. В своих публикациях (по крайней мере в тех, которые мне известны) Эйлер, однако, не считал 1 простым числом – достаточно взглянуть, например, на § 267 из первого тома его трактата «Введение в анализ бесконечно малых»[103], где явно перечисляются «все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.». Таким образом, гипотеза Эйлера также существует в двух вариантах – первоначальном, сформулированном Эйлером, и современном. Разложение, скажем, числа 18 вида 18 = 17 + 1 годится для первоначального варианта и не годится для современного; здесь надо искать такие разложения, как 18 = 13 + 5 и 18 = 11 + 7. В современном варианте следует говорить о разложении каждого чётного числа, начиная с 4. Ясно, что 4 – единственное чётное число, разлагаемое на такие два простых слагаемых, из которых хотя бы одно чётно, так что все последующие чётные числа могут разлагаться только на два простых нечётных слагаемых. Ясно также, почему речь идёт о разложении только чётных чисел: ведь нечётное n можно разложить на два простых слагаемых тогда и только тогда, когда n − 2 является простым.