Апология математики (сборник статей)

Таким образом, я отваживаюсь выдвинуть гипотезу, что всякое число, которое составлено [сложено] из двух простых чисел, есть также соединение [сумма] произвольного количества простых чисел (к каковым причисляется и единица) вплоть до собрания [суммы] всех единиц; например:

К слову «единиц» Гольдбах делает подстрочное примечание, которое, как показывает факсимильное воспроизведение [2, с. 171], он не может уместить внизу страницы и потому располагает на левом поле поперёк основного текста. В заключительной фразе этого примечания и формулируется гипотеза, составившая содержание знаменитой проблемы:

После того как я это перечитал, я нахожу, что эту гипотезу [о возможности представления всякого числа в виде суммы произвольного количества простых чисел. – В. У.] можно доказать с полной строгостью для случая n + 1, если она выполняется для случая n и если n + 1 может быть разложено в сумму двух простых чисел. Доказательство очень легкое. Кажется по меньшей мере, что любое число, которое больше чем 1, есть соединение [сумма] трёх простых чисел.

Клаузулу «которое больше чем 1» мы прокомментируем позже. Пока же укажем, что наш русский перевод осуществлён по книге Фусса. Для полной объективности приведём оригинальный текст (немецкий, с латинскими вкраплениями):

Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren: dass jede Zahl, welche aus zweien numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatem*); zum Exempel

*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si succes serit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

Простое число в современном понимании – это такое целое число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. При таком понимании сформулированная Гольдбахом в подстрочном примечании гипотеза немедленно опровергается: каждое из чисел 2, 3, 4, 5 больше единицы, но ни одно из них не разлагается в сумму трёх простых чисел. Поэтому в современной формулировке проблемы говорится о разложении на слагаемые чисел, начиная с 6.