Апология математики (сборник статей)

Точнее сказать, так выглядит одна из гомеоморфных друг другу (и даже изотопных в четырёхмерном пространстве) фигур, каждую из которых можно назвать бутылкой Клейна (ведь и листу Мёбиуса можно придать различные формы, но все они будут гомеоморфны друг другу). Лучше сказать, что на рис. 24 предъявлена некоторая «бутылочная репрезентация» бутылки Клейна.

Не исключено, что более наглядным окажется другое объяснение того, как построить бутылку Клейна. Начнём с ленты Мёбиуса. Приглашаем читателя взглянуть на рис. 25, а и б. На них изображены два недостроенных плоских кольца; назовём их недокольцами. Чтобы достроить каждое недокольцо до полного кольца, нужно закрыть имеющуюся щель. Представим себе эти недокольца сделанными из абсолютно растяжимой резиновой плёнки. Тогда можно, не выходя из плоскости, стянуть эти недокольца так, чтобы в каждом из них края щели сомкнулись. Торцевые отрезки, образующие края щели, при этом склеиваются. Теперь потребуем дополнительно, чтобы при стягивании слились и одинаковые цифры, стоящие по концам склеиваемых торцевых отрезков. Для фигуры на рис. 25, а это возможно, а для фигуры на рис. 25, б – нет; напомним, что мы говорим о стягивании в пределах плоскости. Однако и для фигуры на рис. 25, б есть способ склеить торцевые отрезки так, чтобы совпали одинаковые цифры. Только для этого надо осуществить операцию не на плоскости, а в трёхмерном пространстве. При этом получится не плоское кольцо, а лента Мёбиуса.

Теперь взглянем на рис. 26, а и б. На них изображены баранки, в каждой из которых выгрызена щель. Говоря научным языком, на них изображены торы со щелями. Края щелей представляют собою круги. На окружностях этих кругов поставлены стрелки, указывающие направления обхода. Исходим из того, что фигуры с рис. 26, а и б сделаны из неограниченно растягиваемой резины, так что в каждой из фигур края щели можно затянуть. Упомянутые окружности при этом склеятся, а фигура превратится в тор. Усложним задачу, потребовав, чтобы при склеивании окружностей совпали направления их обхода. Мы видим, что это осуществимо для фигуры с рис. 26, а и неосуществимо для фигуры с рис. 26, б. Здесь имеется в виду осуществимость посредством деформации в пределах трёхмерного пространства. Однако и для фигуры с рис. 26, б есть способ стянуть края щели так, чтобы направления обхода склеиваемых окружностей совпали. Только для этого надо осуществить операцию не в трёхмерном пространстве, а в четырёхмерном. При этом получится не тор, а бутылка Клейна. Любезный читатель не преминет заметить аналогию между только что изложенным сопоставительным построением тора и бутылки Клейна и построением, также сопоставительным, плоского кольца и ленты Мёбиуса, изложенным в предыдущем абзаце.

Столь длительное обсуждение неориентируемых поверхностей, т. е. фигур двумерных, играло в нашем изложении роль разбега перед прыжком, длительность которого по сравнению с разбегом мала. Аналогом же прыжка у нас будет следующий за сим абзац, посвящённый неориентируемым трёхмерным фигурам.

Трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, т. е. такую, внутри которой может существовать траектория, приводящая к зеркальному отражению, – подобную фигуру представить себе очень трудно. Тем не менее таковые допускают математическое построение. В нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в «обычном» (евклидовом) четырёхмерном пространстве, подобно тому как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (вспомним, что умещающаяся в трёхмерном пространстве лента Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях, ведь и двумерная лента Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела «хорошо себя чувствуют» в пятимерном евклидовом пространстве.

Вспомним путешествие Готфрида Платтнера, в результате которого он превратился в своё зеркальное отражение. И евклидово пространство из курса средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Возможно, таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший: