Апология математики (сборник статей)

Феномен ленты Мёбиуса был обнаружен в 1858 г. Первооткрывателем его стал уже известный нам по предыдущей главе Листинг; ему же принадлежит и первое сообщение в печати. Однако описание свойств этой поверхности первым дал другой немецкий математик – Август Фердинанд Мёбиус (August Ferdinand Möbius, 1790–1868). Среди его предков со стороны матери был Лютер, а среди учителей – Гаусс. Память Мёбиуса увековечена не только в названии знаменитой поверхности, но также в названии кратера на обратной стороне Луны и астероида 28516. Дело в том, что, хотя основные его научные труды – труды замечательные, высоко оценённые Гауссом – относились к области математики, по должности он был астроном – профессор астрономии Лейпцигского университета (и в качестве такового внёс заметный вклад в эту науку двумя монографиями по теоретической астрономии). Преподавал же он в основном механику. Начинал Мёбиус младшим сотрудником астрономической обсерватории, причём утверждают, что он согласился на такую скромную работу из-за низкой самооценки. Его скромность, впрочем, была вознаграждена, потому что директором астрономической обсерватории в Гёттингене оказался не кто иной, как Гаусс.

В предыдущей главе была приведена предложенная Мёбиусом в 1840 г. задача, аттестующая его как одного из пионеров геометрии положения. За десять лет до кончины Мёбиус представил рукопись об односторонних поверхностях (в частности, о той, которая была впоследствии названа его именем) в Парижскую академию наук (как неофициально именовалась Французская академия естественных наук). Академия эта, увы, была печально известна тем, что присланные рукописи подчас пылились на полках и никто их не читал. А иногда они и пропадали[98]. Слава богу, рукопись Мёбиуса не пропала и после его смерти была обнаружена.

Другое свойство ленты Мёбиуса особенно важно для нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости. Лента Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на какой-то поверхности изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая: это зависит от того, с какой стороны посмотреть. Сказанное верно и для ленты Мёбиуса. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова «сторона». Лента Мёбиуса в целом является односторонней, но тот малый её участок, на котором изображена ладонь, – двусторонний, и как ни гуляй по нему, своим антиподом не станешь.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они, или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно так переместить силуэт ладони по ленте Мёбиуса, что он вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность подобного передвижения и означает неориентируемость. Каждый может удостовериться, что это вполне реально. Для наглядности полезно представлять себе ленту Мёбиуса изготовленной из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Не менее полезно воображать, что лента Мёбиуса сделана из бумаги, которая благодаря своей ничтожной толщине совершенно прозрачна, так что рисунок, нанесённый на одну сторону, ясно виден и с другой.

Если же перемещать изображение ладони по плоскости или по сфере, то, как его ни двигай, оно никогда не превратится в своё зеркальное отражение: и плоскость, и сфера суть поверхности ориентируемые.