Апология математики (сборник статей)

Ориентируемость и неориентируемость геометрических образований – настолько важные понятия, что мы сейчас приведём ещё одну наглядную их иллюстрацию. Поставим спичку вертикально головкой вверх на горизонтальную плоскость и будем по ней передвигать; ясно, что спичка будет всё время торчать головкой вверх. Возьмём вместо плоскости сферу; если первоначально спичка была направлена головкой наружу, то так оно и останется при любых передвижениях; то же с заменой слова «наружу» на слово «внутрь». Это тот же мысленный эксперимент, который ранее мы изложили в муравьиных терминах. Теперь обведем основание спички окружностью, расположенной в нашей плоскости – не на плоскости, а в её «нолевой толще». Зададим на окружности так называемую ориентацию: нарисуем на ней дугообразную стрелку, указывающую направление обхода окружности. Этот обход, если смотреть на окружность с головки спички, может совершаться в одном из двух направлений – по ходу или против хода стрелки часов; каждое из этих двух направлений и называется ориентацией окружности. Ясно, что при описанном выше движении спички по плоскости ориентация привязанной к спичке окружности (которая будет передвигаться в плоскости) останется одной и той же. Это и есть ориентируемость плоскости. То же самое можно проделать, заменив плоскость сферой: ориентация передвигающейся окружности вместе со спичкой окружности меняться не будет. Это и есть ориентируемость сферы. Если же передвигать спичку, не отрывая её основания от ленты Мёбиуса, то можно добиться того, чтобы она пришла в положение, при котором ориентация окружности, описанной в ленте у основания спички, сменится на противоположную. Этот мысленный эксперимент демонстрирует неориентируемость ленты Мёбиуса.

Лента Мёбиуса имеет край, и её можно сшить из конечного числа лоскутов. Поэтому она является компактным двумерным многообразием с краем. Отодрать от неё край в реальном, физическом смысле, конечно, нельзя. Да ведь и сама лента Мёбиуса не является, строго говоря, реальным, физическим объектом: она есть не имеющая толщины поверхность и, как и всякая идеальная поверхность, пребывает лишь в нашем воображении (поразительным образом одинаковом в подобных случаях у разных людей). Но мысленно удалить край можно. Оставшееся будет двумерным многообразием без края, но уже не компактным: из конечного числа лоскутов это многообразие сшить нельзя, но можно сшить из бесконечного числа лоскутов, уменьшающихся в размерах по мере приближения к отсутствующему краю.

А возможна ли такая поверхность, которая, как и лента Мёбиуса, неориентируема, но является компактным многообразием без края? Такие поверхности существуют, но только в нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Одной из них является знаменитая бутылка Клейна, названная по имени немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 г.

Постараемся в меру наших сил объяснить, как она получается. С этой целью вернёмся к той процедуре получения из обычной ленты цилиндрической поверхности и ленты Мёбиуса, которая была показана на рис. 21, а и б. Исходную ленту будем изображать в виде прямоугольника. Не станем помечать буквами его углы, а вместо этого воспользуемся стрелками. Они будут указывать способ склеивания. Требуется, чтобы при склейке направления, указанные стрелками, совпали. Схема получения боковой поверхности цилиндра показана на рис. 22, а. Видно, что у получающейся поверхности два края, один из коих соответствует острым концам стрелок, а другой – тупым. Что же касается ленты Мёбиуса, то схема её получения изображена на рис. 22, б. Наглядно видно, что у ленты Мёбиуса только один край, поскольку правый верхний угол теперь склеивается с левым нижним углом.

До сих пор мы склеивали только боковые стороны исходной ленты. А что, если попытаться склеить между собой также и другие две стороны? При склейке, показанной на рис. 23, а, получится тор. Если же склеить, как показано на рис. 23, б, как раз и получится бутылка Клейна. Легко увидеть, что и тор, и бутылку Клейна можно сшить из конечного числа лоскутов. А значит, обе поверхности суть двумерные компактные многообразия. Поскольку все стороны многоугольника участвуют в склеивании, краю в результирующих поверхностях неоткуда взяться. Поэтому и тор, и бутылка Клейна являются многообразиями без края.

Но всё дело в том, что склеить стороны так, как предписывает рис. 23, б, оставаясь в пределах нашего привычного трёхмерного пространства, невозможно. Это возможно лишь в том случае, если мы научимся действовать в пространстве четырёхмерном (кто знает, может быть, когда-нибудь и научимся). В четырёхмерном пространстве бутылка Клейна (в проекции на трёхмерное пространство) выглядит так, как показано на рис. 24.