Апология математики (сборник статей)

Посмотрим, что может поколебать флатландцев в убеждении, что их вселенная, Флатландия, плоская. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон, ведь в их вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Флатландец, совершающий космическое путешествие и двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и потому длина «флатландского радиуса» оказывается больше евклидова радиуса той же окружности, проведённого в недоступном флатландцам «внешнем» пространстве. Следовательно, длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая получится, если по известной школьной формуле умножить «флатландский радиус» на 2π. Если окружность невелика, то указанную разницу невозможно уловить измерительными приборами, имеющимися во флатландских исследовательских центрах; если же окружность достаточно велика, эта разность становится очень заметной. Посмотрим теперь, чтó произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, но после прохождения через «экватор» Флатландии она начнёт уменьшаться и в итоге уменьшится до ноля. В качестве шаров для игр у флатландцев выступают круги. Если начать красить такой круг (что во Флатландии означает наносить краску на окружность круга, причём наносить её снаружи), то сперва круг будет расширяться, оставаясь для красильщика выпуклым, но только пока радиус круга не сравняется с «флатландским радиусом» всей Флатландии. После этого момента красильщик будет ощущать себя внутри сужающегося круга.

А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в «прямом» евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле – в (не на, а в) сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве – наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерное пространство мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или отправившись в космическое путешествие и, никуда не сворачивая, вернувшись на космодром отправления. Можно также сравнивать длины окружностей с теми, которые выражаются через их радиусы по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.

Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более невероятными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов. Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики или достаточно длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Разумеется, если они будут слишком велики, космонавт погибнет, а если слишком длительны – вряд ли он (а тем более его оставшийся на Земле близнец) окажется в живых к моменту возвращения, так что, говоря о «заметной на глаз разнице», мы допустили художественное преувеличение. Но незаметная глазу разница действительно имеет место.

Сейчас мы опишем другое явление – парадокс зеркального отражения. Встретится ли он когда-либо в действительности, неизвестно. В отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать, общепризнанные) свойства мироздания, парадокс зеркального отражения – чисто теоретическое построение, возможность его воплощения в реальности всего лишь не опровергнута.

Итак, парадокс зеркального отражения. Вспомним случай с Готфридом Платтнером, придуманный Уэллсом и дважды пересказанный нами. Платтнер на время исчезает, а по возвращении оказывается зеркально перевёрнутым. Уэллс не видит иного способа объяснить происшествие, кроме как приписать его выходу в другой мир, в четвёртое измерение: «Единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство)».