Апология математики (сборник статей)

1. Рассмотрим механическую систему, которая состоит из двух частиц, свободно передвигающихся вдоль прямой. Мы считаем, что частицы могут беспрепятственно проходить сквозь друг друга и сохраняют свою индивидуальность: они были пронумерованы, и в каждый момент нам известно, какая из частиц имеет номер один, а какая – номер два. Каково пространство состояний нашей системы? Ясно, что каждое состояние соответствует паре чисел (мы считаем, что наша прямая отождествлена с числовой прямой – для такого отождествления надо выбрать начало отсчёта, единицу длины и направление). Следовательно, пространство состояний – так называемое конфигурационное пространство – может быть отождествлено с плоскостью.

Этот простой пример можно развить в нескольких направлениях.

2. Если частиц не две, а три, мы придём к трёхмерному пространству. А если четыре – к четырёхмерному, так что мы получили простую механическую модель для четырёхмерного пространства. Правда, модель эта не даёт ответа на существенный вопрос: как же математики представляют себе это пространство? Если точка четырёхмерного пространства – это положение четырёх частиц, то что же такое, скажем, трёхмерная сфера, лежащая в этом пространстве? Формальный ответ дать несложно: это совокупность тех положений частиц, для которых фиксирована сумма квадратов расстояний от частиц до начальной точки отсчёта. Но ведь подобный ответ можно дать и в случае трёх частиц и двумерной сферы. И станет видно, как далёк такой ответ от привычного геометрического образа, связанного со словом «сфера». Так что же видят математики, думая о четырёхмерном (а то и бесконечномерном!) пространстве? Говорить об этом математики, похоже, не хотят, а возможно, и не умеют.

3. Предположим, что частиц наших по-прежнему две, но теперь они неразличимы. Положения, которые для различимых частиц мы описывали парами (x, y) и (y, x), теперь считаются одинаковыми. Будем использовать поэтому лишь такие пары (x, y), для которых x ≤ y. Тем самым мы не исключаем положений вида (x, x), когда частицы сливаются. Что теперь служит конфигурационным пространством? Ответ: многообразие, гомеоморфное полуплоскости. Действительно, те точки (x, y) плоскости, для которых x ≤ y, образуют полуплоскость.

4. Пусть теперь наши частицы скользят не по прямой, а вдоль окружности. Пусть их две и они различимы. Что будет конфигурационным пространством в этом случае? Ответ: тор (имеется в виду двумерная поверхность, а не полноторие). Действительно, при введении естественной системы координат на торе (широта и долгота) каждая точка тора соответствует паре своих «торических координат» – точек на окружности. Аналогично получаются многомерные торы (если частиц больше двух).

5. Две неразличимые частицы скользят вдоль окружности. Не будем лишать читателя удовольствия самому разобраться с тем, каким будет конфигурационное пространство в этом случае, и укажем лишь ответ: лист Мёбиуса (он будет описан в главе 12). Его краем служат те положения, при которых частицы сливаются.

6. Частиц три, они скользят вдоль окружности и неразличимы. Здесь следует уточнить, чтó понимается под положением системы. Тонкость заключается в следующем: если две из трёх частиц слились, так что мы видим только две частицы, видим ли мы при этом, где именно находится «двойная», или «тяжёлая», частица? Будем считать, что нет, не видим. Таким образом, положение или состояние системы – это (неупорядоченное) подмножество окружности, состоящее либо из трёх точек, либо из двух, либо из одной.

Для этого случая вопрос о «форме» конфигурационного пространства оказывается намного труднее, чем для предыдущих. Известный польский математик Кароль Бóрсук (Karol Borsuk, 1905–1982), внёсший значительный вклад в развитие топологии, допустил ошибку при решении этого вопроса и опубликовал неверную работу. Правильный ответ нашёл другой знаменитый тополог Рауль Ботт (Raoul Bott, 1923–2005)[96]: конфигурационное пространство в рассматриваемом случае гомеоморфно трёхмерной сфере. Положения, когда все три точки слились в одну, образуют в этой сфере нетривиальный (т. е. не перетягиваемый в окружность) узел – трилистник.