Апология математики (сборник статей)

Обманули из лучших побуждений, чтобы не осложнять изложение и побыстрее ввести читателя в суть понятий. Надеемся, что, ознакомившись с дальнейшим текстом, читатель нас поймёт и простит. В качестве дополнительного оправдания приведём то обстоятельство, что в неформальном описании гомеоморфии мы всего лишь следовали устоявшейся традиции. Например, в уже упоминавшейся (в подстрочном примечании) статье «Топология» Павел Сергеевич Александров, у которого учился топологии автор этих строк, так описывает топологическое преобразование, т. е. гомеоморфизм:

Наглядно топологическое преобразование какой-либо геометрической фигуры (линии, поверхности и т. п.) можно себе представить следующим образом. Предположим, что наша фигура изготовлена из какого-нибудь гибкого и растяжимого материала, например из резины. Тогда можно подвергать её всевозможным непрерывным деформациям, при которых она в одних своих частях будет растягиваться, в других – сжиматься и вообще будет всячески изменять свои размеры и свою форму.

Описывая гомеоморфию двух тел в терминах деформаций, мы молчаливо предполагали, что деформация происходит в трёхмерном пространстве, где и располагаются наши тела. А где же она ещё может происходить? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним рассуждения о конгруэнтности и изометрии из главы 10. На нескольких примерах мы показали, что изометричные фигуры, расположенные в плоскости, могут и не быть конгруэнтны относительно этой плоскости, т. е. могут не совмещаться при перемещении в её пределах. Но любые такие фигуры непременно могут быть совмещены перемещением в трёхмерном пространстве, т. е. они конгруэнтны относительно этого пространства. Теперь взглянем на рис. 4–5. Каждый из них демонстрирует фигуры, которые нельзя совместить перемещением в трёхмерном пространстве, но можно совместить перемещением в четырёхмерном пространстве (всюду – речь об евклидовых пространствах). Следовательно, не будучи конгруэнтными относительно трёхмерного пространства, они являются конгруэнтными относительно пространства четырёхмерного. (Точно так же обстояло дело с прежним Платтнером и его вернувшимся в наш мир зеркальным отражением.) Мы видим, что конгруэнтность есть понятие относительное. Бессмысленно спрашивать, конгруэнтны или нет две фигуры, не уточняя, относительно какого объемлющего пространства ставится вопрос. В отличие от конгруэнтности, изометрия есть понятие абсолютное: для утверждения, что две фигуры являются или не являются изометричными, достаточно предъявить сами эти фигуры, не спрашивая, где они расположены.

Аналогично изотопия (которую мы описали в предыдущем разделе, незаконно окрестив её гомеоморфией) – понятие относительное. Говоря об изотопии, необходимо уточнить, в каком пространстве осуществляется деформация. Заузленные верёвки на рис. 5 не деформируются друг в друга в пределах трёхмерного пространства (чтобы «перетянуть» одну в другую, её необходимо сперва разрезать, а потом склеить). Однако они деформируются («перетягиваются» без разрезов и склеиваний) в пределах пространства четырёхмерного. Иными словами, они изотопны относительно четырёхмерного пространства, но не изотопны относительно трёхмерного пространства.

Чтобы лучше усвоить понятие изотопии, зададимся вопросом: всякие ли две линии, расположенные на плоскости и преобразуемые одна в другую с выходом в трёхмерное пространство, можно преобразовать, оставаясь в пределах плоскости? Плоскость бедна многообразиями, и для них ответ положителен. А вот для произвольных линий ответ отрицательный: достаточно взять замкнутый контур «с хвостом внутрь» и замкнутый контур «с хвостом наружу» (рис. 18). Аналогична ситуация с линиями в трёхмерном пространстве; может случиться, что, будучи преобразуемыми одна в другую в четырёхмерном пространстве, две такие линии не допускают преобразования в рамках трёхмерного пространства: для примера достаточно трёхмерные вёревки с рис. 5 сжать каждую до одномерной нити. (Возникающий здесь пример с нитями показывает, что ответ для линий в трёхмерном пространстве может быть отрицателен и в том случае, если линии являются компактными многообразиями.)

Разумеется, чтобы осознать сказанное, необходимо развить воображение, ведь надлежит представлять себе деформацию геометрических фигур в четырёхмерном пространстве! Но если мы готовы согласиться с перемещениями в этом пространстве, то отчего бы не согласиться и на деформации?

Так что же такое гомеоморфия?