Апология математики (сборник статей)

Передо мной лежит небольшая (имеющая тем не менее суперобложку) книга, изданная Гостехтеориздатом в 1932 г., – Иоганн Бенедикт Листинг «Предварительные исследования по топологии». Перевод с немецкого под редакцией и с предисловием Э. Кольмана. На контртитуле указаны название и имя автора на языке оригинала: Vorstudien zur Topologie von Johann Benedict Listing, – а также место и год издания: Göttingen, 1848. Эта книга примечательна тем, что в ней в 1848 г. впервые в печати был употреблён термин «топология» в его немецком варианте – Topologie (в английском языке слово «topology» впервые появилось лишь в 1920 г.). Сам же Листинг использовал этот термин ещё раньше, в 1836 г., в письме своему школьному учителю Мюллеру, которому во многом был обязан интересом к математике и естественным наукам (и благодарен за это). Введение в научный оборот названного термина – бесспорная заслуга Листинга[92]. (Как топологическое сочинение книжка Листинга не слишком содержательна даже по тем временам, и её одарённый автор сам это осознавал, назвав свой труд «предварительными исследованиями»; это скорее расширенный очерк, нежели книга.)

Листингу не нравились ни выражение «Analysis situs», ни «Geometria situs», и термин «топология» призван был заменить их собою. Противопоставляя метрическим соотношениям модальные, Листинг так определял значение нового термина:

Под топологией, таким образом, следует понимать учение о модальных отношениях пространственных образований, или о законах соединения, взаимного расположения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их агрегатов в пространстве, без учёта соотношений меры и величины[93].

Таким образом, топологии в понимании Листинга ещё очень далеко до того, что начали называть этим словом впоследствии, т. е. до общего учения о пространственных формах, рассматриваемых под углом зрения их гомеоморфии[94]. Тем не менее его «Предварительные исследования» сыграли, как нам кажется, немаловажную роль в том, чтобы геометрия положения оформилась в область математики, постепенно развившуюся в топологию в её современном понимании. В знак признания его заслуг узел, изображённый на рис. 17, получил название узел Листинга.

Узлами Листинг заинтересовался под влиянием великого Гаусса, который едва ли не первым увидел в них математическое содержание. Гаусс обратил внимание на весьма способного и усердного студента Гёттингенского университета (Листинг поступил туда в 1830 г.). Листингу посчастливилось войти в круг ближайших учеников Гаусса, по рекомендации которого в 1839 г. он был назначен профессором физики Гёттингенского университета. Вышедшая в 1845 г. монография Листинга вошла в число классических сочинений по физиологической оптике. Биографы его утверждают, что из-за своего характера, а ещё более из-за поведения жены[95], он не был в чести у коллег, а потому его научные заслуги не получили должного признания. Осталось прибавить, что Листинг родился 25 июля 1808 г. и скончался 24 декабря 1882 г.

В заключение этого раздела коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфизма. Представим себе мыслящее существо, которое живёт внутри какой-либо геометрической фигуры и лишено возможности посмотреть на эту фигуру извне, со стороны. Для него фигура, в которой оно живёт, образует вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается гомеоморфизму, то вместе с нею деформируется и всё, что находится внутри фигуры, включая все измерительные приборы и само указанное существо. Тогда для этого существа его вселенная не меняется; в частности, изометричные фигуры остаются изометричными (хотя они и перестанут быть таковыми для внешнего наблюдателя). Если, скажем, подвергнутая гомеоморфизму фигура была шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно по-прежнему в шаре или в том, во что этот шар превратился: например, в эллипсоиде, кубе или пирамиде. Однако для него остаётся теоретическая возможность убедиться, что его новая вселенная не имеет формы тора или кренделя.

Изотопия

Наше определение гомеоморфии – не определение в математическом смысле слова, а скорее, описание – нуждается в серьёзном уточнении. И вот почему. Снова взглянем на рис. 5. Будут ли гомеоморфны две изображённые на нём заузленные верёвки? Попытка преобразовать одну в другую без разрывов и склеиваний проваливается. Тем не менее в топологии эти две трёхмерные геометрические фигуры признаются гомеоморфными. Как же так?

Тут мы должны покаяться перед читателем. Дело в том, что мы его слегка обманули, изложив под видом гомеоморфии близкое, но всё же другое понятие – изотопию.