Апология математики (сборник статей)

Когда говорят о запрете на склеивание, это означает, что две разные точки не должны склеиваться в одну. Пример запрещённой деформации показан на рис. 16.

Левая фигура на рис. 16 деформируется в среднюю вполне законно, а вот при переходе от средней фигуры к правой как раз и происходит склеивание. Законно деформировать правую фигуру в среднюю тоже не удаётся: в этом случае, напротив, произойдёт разрыв.

Очевидно, что деформацией без разрывов и склеиваний шар можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. С другой стороны, в тор можно превратить гирю с одной ручкой (см. рис. 12), а вот в гирю с двумя ручками превратить тор нельзя. Превращение тора в кружку с ручкой и обратно читатель может наблюдать на сайте «Википедии», на движущейся картинке в статье «Топология»[91].

Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём деформации без разрывов и склеиваний; сами такие деформации называются гомеоморфизмами. Все фигуры, изображённые на рис. 15, гомеоморфны друг другу, тор гомеоморфен гире с одной ручкой и кружке с ручкой. Шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Явление гомеоморфии изучается в высшем разделе геометрии – топологии, и потому гомеоморфизмы называются также топологическими преобразованиями.

Комок (как мы его определили выше в разделе о многообразиях) – это тело, гомеоморфное шару.

Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (сдобную витую булку) в форме буквы В. С той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме цифры 8, и выпечка в форме греческой буквы θ (теты, которая в русском письменном языке дореволюционной орфографии стала фитой) имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно путём гомеоморфизма превратить ни в баранку, ни в крендель, как и два последних вида выпечки – друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду можно. Любезный читатель сумеет найти и такой вид выпечки, в который нельзя превратить ни колобок, ни бублик, ни крендель.

Возможность превращения шара в куб и невозможность превращения его в баранку, а баранки – в крендель говорит о том, что есть некое глубинное геометрическое сходство между кубом и шаром, отсутствующее в других случаях. (Аналогично кит имеет глубинное сходство с мышью, а не с более похожей на него внешне акулой.) Указанное глубинное геометрическое сходство и формализуется в математике в виде гомеоморфии.

До сих пор мы говорили лишь о гомеоморфии трёхмерных фигур. Впрочем, нет, это неверно. Ведь наш лоскут – это, по определению, поверхность, гомеоморфная кругу. Двумерные фигуры под углом зрения гомеоморфии следует представлять себе сделанными из резиновой плёнки, которую можно как угодно мять, растягивать, сжимать; нельзя только эту плёнку ни рвать, ни склеивать; таким образом, допускаются только топологические преобразования. Вырежем из такой плёнки круг. Никаким топологическим преобразованием из него нельзя изготовить продырявленный круг, да и вообще никакой неодносвязный кусок плёнки. Зато его легко превратить в квадрат или в любой другой односвязный кусок. Но ни в поверхность шара, ни в боковую поверхность цилиндра наш круг за счёт гомеоморфизма превратить невозможно, а обе эти поверхности не превращаются ни друг в друга, ни в поверхность тора, ни в поверхность кренделя. Никакие две из рассмотренных только что поверхностей (а это были круг, круг с дыркой, сфера, боковая поверхность цилиндра, поверхность тора и поверхность кренделя) не являются гомеоморфными. Если считать, что на рис. 15 изображены не трёхмерные тела, а их поверхности, то все эти поверхности гомеоморфны друг другу.

Вспомним о спортивных гирях с любым числом ручек. Включим в этот комплект и гирю с нолём ручек (хотя на общечеловеческом языке это будет, скорее, ядро). Если гиря имеет n ручек, то её поверхность (являющаяся, как мы знаем, двумерным компактным многообразием без края) называется в топологии сферой с n ручками. Одна из замечательных теорем топологии гласит, что всякое двумерное компактное многообразие без края, являющееся частью трёхмерного пространства, гомеоморфно сфере с каким-то количеством ручек. (Слова «являющееся частью трёхмерного пространства» существенны, без них теорема неверна. Пример двумерного компактного многообразия без края, в трёхмерном пространстве не помещающегося, будет приведён в главе 12.)