Апология математики (сборник статей)

Настало время попытаться определить, что такое компактное многообразие. Для большей наглядности мы начнём с двумерных многообразий, от коих сперва спустимся к одномерным, а потом поднимемся до трёхмерных. Двумерное компактное многообразие – это такая поверхность, которую можно сшить из конечного числа лоскутов. Например, простыня, если трактовать её как поверхность, представляет собой двумерное компактное многообразие с краем. Дырявая от ветхости простыня остаётся двумерным компактным многообразием с краем; край этого многообразия состоит из точек, расположенных как по старым, до появления дыр, краям простыни, так и по краям дыр. Лоскутных простыней мне видеть не довелось, а вот лоскутные одеяла я видел. Они представляют собою сшитый из лоскутов чехол, набитый утеплителем, обычно ватой или пухом. Чехол лоскутного одеяла, до того как он набит и зашит, является двумерным компактным многообразием с краем. А вот если его зашить, но не простёгивать, он становится двумерным компактным многообразием без края (если же простегать, он перестаёт быть многообразием, поскольку все точки стежков – особые). Повторим определение: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно сшить из конечного количества лоскутов. Слова о конечном количестве кажутся ненужными. Какой смысл говорить о бесконечном количестве лоскутов? Необходимость противопоставления конечного и бесконечного количеств будет вскоре объяснена. Пока что заметим, что математики предпочитают употреблять глагол «склеивать», а не «сшивать». Поэтому можно сказать и так: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно склеить из конечного количества лоскутов. Под лоскутом же следует понимать любую поверхность, которую можно получить из замкнутого круга, изгибая, комкая, растягивая и сжимая его как угодно, но только не разрывая и не склеивая с самим собой. С понятием лоскута (но не с термином) мы уже встречались в главе 10, в разделе о геометрии положения, когда говорили о граничащих друг с другом областях. То, что мы называли областью в главе 10, и то, что мы называем лоскутом сейчас, – одно и то же.

Стандартный футбольный мяч, как известно, склеен (или сшит?) из 32 лоскутов. Что ещё можно склеить из лоскутов? Боковую поверхность цилиндра – это будет многообразие с краем. Но можно склеить и спасательный круг, т. е. на математическом языке – поверхность тора; эта поверхность края не имеет. Поверхность спортивной гири (рис. 12) даёт ещё один пример двумерного компактного многообразия без края.

Можно представить себе гирю настолько тяжёлую, что один человек её не поднимет, самое меньшее – два силача. Тогда к ней следует приделать не одну, а две ручки. Легко представить и гирю, неясно для чего нужную, с тремя ручками (рис. 13), с четырьмя (для четырёх силачей) и вообще с любым числом ручек. Поверхность каждой из таких гирь является двумерным компактным многообразием без края. (Сами же гири суть трёхмерные многообразия с краем.)

Круг является, конечно же, компактным многообразием, но с краем, каковым является ограничивающая круг окружность. Отдерём эту окружность от круга (разумеется, это можно проделать только мысленно). Получится фигура, которая в предыдущей главе была названа открытым кругом. Открытый круг не имеет края, но зато и не является компактным многообразием: его нельзя составить из конечного числа лоскутов. Читатель, верно, уже понял, что такое открытый квадрат – это квадрат без своего периметра. Как и открытый круг, он не является компактным многообразием.