Апология математики (сборник статей)

Поверхность стола и поверхность глобуса односвязны, а поверхность большинства современных унитазных сидений[86], поверхность спасательного круга и боковая поверхность цилиндра не односвязны. Шар и цилиндр односвязны, а бублик – нет; не односвязен и крендель. Говоря об односвязности пространственных тел, мы делаем несколько фантастическое допущение, что резинка вольна свободно перемещаться в толще тела (в наших примерах – в мякише бублика или кренделя). Рекомендуем читателю обнаружить такие расположения резинки внутри бублика, а также на поверхности унитазного сиденья, поверхности спасательного круга и боковой поверхности цилиндра, при которых резинка не может стянуться в точку, не покидая названных фигур. Вопрос к читателю: односвязно или нет тело, представляющее собою 1) шар, в котором имеется полость, 2) чашку с ручкой и 3) чашку с отбитой ручкой? Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.

Наш очерк не претендует на математическую строгость, поэтому определения односвязности в терминах стягивающейся резинки вполне достаточно для наших целей. Тем не менее читатель вправе знать, что такое определение не может считаться математически точным.

Многообразия

Наша следующая тема – многообразия, в частности компактные. Многообразия представляют собою важнейший класс топологических пространств, и, чтобы правильно и полно определить понятие многообразия, следовало бы сначала определиться с тем, что такое топологическое пространство и что такое гомеоморфизм. Иными словами, начать с вводного курса топологии. По понятным причинам делать этого мы не будем, а скрепя сердце пожертвуем и общностью, и точностью. Мы ограничимся рассмотрением многообразий, которые являются геометрическими фигурами. А геометрическая фигура всегда располагается в каком-то из евклидовых пространств, являясь подмножеством точек этого пространства. Такое ограничение, казалось бы, сужает понимание и проблемы Пуанкаре, и результата Перельмана, но на самом деле сужает только формально, поскольку каждое компактное многообразие в общем топологическом смысле этого термина гомеоморфно некоторой геометрической фигуре. Слово «гомеоморфно» будет разъяснено ниже, а некоторые детали прояснятся в конце этой главы.

Отличительным свойством многообразия без края является его локальная однородность: вблизи любой своей точки оно устроено так же, как вблизи другой. Если вырезать из такого многообразия два кусочка в разных местах, то эти кусочки в некотором глубоком смысле нельзя отличить один от другого. Окружность, сфера, прямая, плоскость, трёхмерное пространство – вот наглядные примеры многообразий без края. Край нарушает указанную однородность. Например, у шара краем является ограничивающая его сфера; и кусочек шара, содержащий хотя бы одну точку этой сферы, резко отличается от кусочков того же шара, таких точек не содержащих. Точки геометрической фигуры, принадлежащие её краю, называются краевыми.

В многообразии окрестности всех точек, за исключением краевых, устроены одинаково. При этом под окрестностью какой-либо точки A понимается совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A. Конечно, и слово «вблизи», и словосочетание «устроены одинаково» нуждаются в уточнении, без какового тем не менее мы их пока оставляем. Заметим лишь, что мы имеем в виду качественное устройство без учета размеров; с такого рода устройством мы встречались в предыдущей главе, когда говорили о геометрии положения. Точки, не являющиеся краевыми, называются внутренними. Повторим: многообразие вокруг каждой из его внутренних точек устроено так же, как и вокруг любой другой внутренней точки. Микроскопическое[87] существо, находящееся в одной из внутренних точек и способное видеть только ближайшие к нему точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же.