Апология математики (сборник статей)

Первая – это знаменитая задача о кёнигсбергских мостах. Река Прегóля (Прегель), протекающая через город Кёнигсберг (переименованный 4 июля 1946 г. в честь скончавшегося 3 июня того же года, но никак не связанного с городом М. И. Калинина в Калининград), образует различные протоки, через которые были перекинуты семь мостов. На рис. 8 представлена старинная карта города. Буквы и цифры, добавленные к ней, обозначают части города (А – Альтштадт, Б – Кнайпхоф, В – Ломзе, Г – Форштадт) и мосты [в порядке строительства: 1 – Лавочный (Торговый), 2 – Зелёный, 3 – Рабочий (Мусорный), 4 – Кузнечный, 5 – Деревянный, 6 – Высокий, 7 – Медовый][82]. Рис. 10 воспроизводит план расположения мостов, начертанный самим Эйлером. Если на этом плане прочесть их немецкие названия, то можно увидеть, что карта на рис. 8 и план на рис. 10 повёрнуты относительно друг друга. В схематическом виде план Эйлера повторён на рис. 9. Немецкие названия мостов написаны на плане не слишком разборчиво, поэтому мы приведём их здесь, слегка осовременив орфографию (Эйлер для всех названий употреблял раздельные написания): a – a – Krämerbrücke (Лавочный, или Торговый, мост), b – b – Schmiedebrücke (Кузнечный мост), c – c – Grüne brücke (Зелёный мост), d – d – Köttelbrücke (Рабочий, или Мусорный, мост), e – e – Honigbrücke (Медовый мост), f – f – Holzbrücke (Деревянный мост), g – g – Hohe brücke (Высокий мост).

На Эйлеровом плане видна надпись: Comment. Acad. Sc. Она расшифровывается как Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, что в переводе с латинского означает «Записки Императорской Санкт-Петербургской Академии наук». Именно в восьмом томе этих «Записок» (с. 128–140) была в 1736 г. опубликована статья Эйлера «Решение одной проблемы, относящейся к геометрии положения» («Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis»), едва ли не первая публикация об этом разделе геометрии. Проблема, которую решал Эйлер, состояла в следующем: можно ли прогуляться по в сем кёнигсбергским мостам, не пройдя ни по одному из них дважды? Эйлер доказал, что нельзя. На какой из рисунков (рис. 8, 9 или 10) следует опираться при решении данной задачи? Очевидно, что это не играет никакой роли, потому что задача принадлежит геометрии положения, для которой важно только взаимное расположение элементов, а не их точная форма.

Вторая задача не менее (а в математической среде, пожалуй, даже более) знаменита. Это так называемая проблема четырёх красок. На географических картах административные единицы, имеющие общий участок границы, для удобства принято закрашивать разными цветами. Такую раскраску называют правильной. В 1852 г. при составлении карты деления Англии на графства возник вопрос: каким минимальным числом цветов можно обойтись? Для той конкретной карты хватало четырёх цветов, как хватало их и для всех воображаемых карт, которые удавалось придумать. Но оставалась возможность того, что есть такая карта (скажем, территориально-административного деления Марса), что четырёх цветов оказалось бы недостаточно для её правильной раскраски. Всегда или нет, для любой ли реальной или воображаемой карты хватает четырёх цветов – вот в чем состоит проблема четырёх красок. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной раскраски любой мыслимой карты на сфере, называют хроматическим числом сферы. Ясно, что хроматическое число одно и то же для всех сфер. Проблему четырёх красок, следовательно, можно сформулировать так: верно ли, что хроматическое число сферы равно четырём? Но вот обстоятельство, на которое редко обращают внимание: заранее неясно, существует ли хроматическое число сферы вообще. А вдруг можно строить всё более и более сложные карты, раскраска которых требует всё большего и большего числа цветов? В 1890 г. удалось доказать, что для правильной раскраски любой мыслимой карты достаточно пяти цветов. Тем самым было доказано, что хроматическое число сферы существует и что оно не превосходит пяти.

На торе можно нарисовать 7 стран, каждая из которых граничит с 6 другими (рис. 11). Поэтому хроматическое число тора, если оно существует, не может быть меньше 7. Не знаю, когда точно, но к 1940-м гг. уже было доказано, что хроматическое число тора действительно существует и что оно равно 7. Было найдено и хроматическое число поверхности кренделя – 8. В 1954 г. немецкий математик Герхард Рингель (Gerhard Ringel, 1919–2008) опубликовал доказательство существования хроматических чисел для всех замкнутых поверхностей[83], имеющихся в трёхмерном евклидовом пространстве[84]; более того, для каждой из таких поверхностей он указал такие три последовательных натуральных числа, что одно из них непременно является хроматическим числом данной поверхности. Но проблема четырёх красок оставалась нерешённой.