Апология математики (сборник статей)

Многообразия могут иметь любую размерность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы Т. Край этой линии состоит из трёх точек: одна точка – в самом низу и две – вверху, в концах «перекладины». Как ни понимай смысл слова «вблизи», окрестностью любой из этих краевых точек будет отрезок с концом в рассматриваемой точке. Окрестностью любой из остальных точек, кроме одной, служит отрезок, содержащий данную точку между своими концами[88]. Но есть здесь и особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек. Это та точка, в которой «вертикальная палочка» утыкается в «перекладину»; в этой точке образуется то, что на языке дорожного движения называется Т-образным перекрёстком. Именно поэтому линия в форме буквы Т не является многообразием. Другой пример одномерного немногообразия – линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии; краевых точек тут нет. Не является многообразием и одномерная фигура, составленная из двух пересекающихся (или же касающихся друг друга, так что возникает восьмёрка) окружностей; здесь особыми будут точки пересечения (или точка касания).

Чтобы читатель лучше усвоил понятие многообразия, приведём ещё два примера геометрических фигур, многообразиями не являющихся. Физические прообразы их – две детские игрушки: воздушный шарик с удерживающей его нитью и ватно-поролоновый шарик с прикреплённой к нему резинкой; на геометрическом языке это двумерная сфера с приклеенной линией и шар с приклеенной линией. Точки, где происходит приклеивание, – особые. Сфера вместе с пересекающей её плоскостью не является многообразием, поскольку та окружность, по которой происходит пересечение, сплошь состоит из особых точек.

В силу сказанного многообразие без края – это геометрическая фигура, целиком состоящая из внутренних точек. Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех тех точек, которые расположены между его концами, сами же концы в интервал не входят; можно сказать, что интервал – это отрезок с удалёнными концами, а отрезок – это интервал с добавленными к нему концами. Ещё бывают полуинтервалы: полуинтервал – это интервал, в который добавлен один из его концов (иначе говоря, отрезок, у которого удалён один из его концов). Прямая, интервал, отрезок, полуинтервал, окружность служат примерами одномерных многообразий, причём прямая, интервал и окружность суть многообразия без края, а отрезок и полуинтервал – многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов, а в случае полуинтервала – из одного.

Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием, а вот с краем или без края – зависит от того, куда мы относим контур дыры. Отнеся его к дыре, получим многообразие без края; если оставим контур на плоскости, получим многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании, скажем, вырезании дыры ножницами в листе бумаги, вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.

Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный[89] шар», а в научном языке, как нам уже известно из предыдущей главы, – открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе с корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, т. е. как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом – то трёхмерное евклидово пространство, которое известно нам из средней школы, – есть трёхмерное многообразие без края.