Апология математики (сборник статей)

В случае одномерных многообразий роль лоскутов выполняют куски нити. Желая придумать какой-нибудь термин, аналогичный термину «лоскут», мы оказались не способны найти что-либо более удачное, чем слово «обрывок». На языке геометрии обрывок – это линия, которую можно получить из отрезка деформацией, подобной той, с помощью которой мы получали лоскут из круга. Иными словами, обрывок – это то, что можно получить из отрезка, как угодно его изгибая, растягивая и сжимая; запрещаются только разрывы и склеивания. Одномерным компактным многообразием называется всякая линия, которую можно склеить из конечного числа обрывков. При этом подразумевается, что обрывки склеиваются своими концами: конец одного обрывка или не склеивается ни с чем (и тогда возникает край многообразия), или же склеивается с ровно одним концом ровно одного другого обрывка. При таком способе склеивания букву Т, которая служила для нас первым примером немногообразия, получить никак невозможно: при попытке склеить эту букву мы вынуждены будем в особой точке либо склеить один из обрывков с внутренней точкой другого, либо склеить концами сразу три обрывка. Нельзя получить и линию в форме восьмёрки. (При склеивании из лоскутов двумерных многообразий подразумевалось, что лоскуты склеиваются своими краями.) Примерами одномерных компактных многообразий могут служить отрезок и окружность, а также всё, что можно получить из этих фигур, деформируя их как угодно, но только без разрывов и склеиваний. Отрезок, а также всякая линия, которая может быть получена из него деформацией (например, конечный участок любого из тех графиков функций, которые проходят в школе), является одномерным компактным многообразием с краем. Окружность, а также всякая линия, которая может быть получена из неё деформацией (например, обе линии на рис. 14), являются одномерными компактными многообразиями без края. Других примеров одномерных компактных многообразий не существует. (Ни интервал, ни полуинтервал не являются компактными многообразиями.)

Можно ли склеить из обрывков прямую? Можно, но для этого потребуется бесконечное число обрывков. Склеить прямую из конечного числа обрывков невозможно; в силу ранее сказанного это значит, что прямая не компактна. Аналогично плоскость можно склеить из бесконечного числа лоскутов, но нельзя – из конечного; это значит, что плоскость не компактна. Покажем, как из бесконечного числа обрывков можно склеить полуинтервал. Возьмём прямую и будем строить на ней бесконечное число отрезков. Начнём с произвольного отрезка А₀А₁. Пусть его длина равна l. К концу А₁ этого отрезка приклеим отрезок А₁А₂ длины l/2. К точке А₂ приклеим отрезок А₂А₃ длины l/4. И будем подклеивать всё новые и новые отрезки, причём так, чтобы длина каждого отрезка составляла половину длины предыдущего. Из всех этих отрезков, число коих бесконечно, составится полуинтервал длины l + l/2 + l/4 + l/8 +… = 2l с концом в А₀. А если ещё тем же способом подклеивать отрезки с другой стороны исходного отрезка, получится интервал. Надеемся, что читатель сумеет склеить из бесконечного количества лоскутов как открытый круг, так и открытый квадрат.

Мы в состоянии теперь дать общее определение одномерных или двумерных многообразий безотносительно к тому, являются они компактными или нет. Многообразие – это такая геометрическая фигура, которую можно склеить из конечного или бесконечного числа лоскутов (тогда многообразие двумерно) или обрывков (тогда многообразие одномерно).

Призываем читателя, прежде чем двигаться дальше, подумать, как следует определить трёхмерное многообразие.

Сперва надо указать те элементарные «кирпичики», из которых складывается любое трёхмерное многообразие. В случае двумерных многообразий такими «кирпичиками» были лоскуты, в случае одномерных многообразий – обрывки. Чтобы выдержать единство стиля, трёхмерные кирпичики мы назовём комками. Комок – это тело, которое можно получить из шара путём его деформации; при этом шар разрешается мять, растягивать и сжимать, но не разрешается делать склейки и разрывы. Вот пример запрещённой деформации: скатаем шар в цилиндр, а концы цилиндра склеим; мы получим тор, который комком не является. Трёхмерное многообразие – эта такая геометрическая фигура, которая может быть получена склеиванием конечного или бесконечного числа комков. Для склеивания шара, тора, гири с ручками достаточно конечного числа комков; поэтому все эти фигуры суть компактные многообразия. А вот ошкуренный шар или всё пространство можно склеить лишь из бесконечного количества комков, поэтому эти многообразия не являются компактными.