Апология математики (сборник статей)

Призываем читателя выписать соотношение для точек открытого четырёхмерного шара.

Если же мы желаем тем или иным образом представить себе трёхмерную сферу как «геометрический объект» (а не просто множество числовых четвёрок), как гипертело, то у нас вместе с Василием Ивановичем нет другого выхода, как взять пример с мыслителей Флатландии, которые находятся на передовом крае флатландской науки. Увидеть двумерную сферу непосредственно они не могут – только одномерную, т. е. окружность. Но они пришли к мысли, что в трёхмерном пространстве существуют двумерные сферы. А самые смелые из них допустили даже, что сама Флатландия не плоскость, а двумерная сфера очень большого радиуса (настолько большого, что на ограниченном обитаемом участке Флатландии кривизна незаметна); большинство из этих смельчаков были сожжены на кострах за вольнодумство. Вот так и мы, если уж допускаем четырёхмерное пространство как некую недоступную нам реальность, то допускаем и существование «геометрической» трёхмерной сферы. Не исключено, что все мы как раз и пребываем в трёхмерной сфере, каковой является наша Вселенная. В осознании такой возможности некоторую роль играет результат Перельмана.

Геометрия положения

Все понятия и факты, о которых говорилось до сих пор в этой главе, принадлежали так называемой метрической геометрии, которая основана на понятии расстояния и изучает метрические инварианты, т. е. свойства, общие для всех изометричных друг другу фигур. Именно эту геометрию изучают в средней школе. А разве бывает другая? Бывает, и к этой другой (возможно, точнее было бы сказать «к одной из таких других») мы собираемся перейти. Вот два примера геометрических задач, никак не связанных с понятием расстояния:

задача Мёбиуса – в 1840 г. Август Фердинанд Мёбиус, о котором будет рассказано в главе 12, предложил такую задачу: «Жил-был король, и было у него пять сыновей. В своём завещании он указал, что после его смерти королевство должно быть разделено между его сыновьями на пять областей, причём каждая область должна иметь общую границу с каждой из остальных четырёх. Может ли быть исполнено это завещание?»;

задача о пяти городах – можно ли пять городов соединить, каждый с каждым, непересекающимися дорогами?

Для обеих задач ответ отрицательный. Произвольно выберите пять точек на какой-либо поверхности и попытайтесь соединить их каждую с каждой непересекающимися линиями, проходящими по той же поверхности. Вы легко сделаете это на поверхности тора. А вот ни на плоскости, ни на сфере сделать это вам не удастся.

Не удастся также исполнить королевское завещание в любом королевстве, расположенном на плоскости или на сфере. На торе же может сыскаться королевство, в котором последняя воля короля будет исполнена. Заметим, что из отсутствия решения для задачи о пяти городах вытекает отсутствие решения и для задачи Мёбиуса. В самом деле, если бы разделение королевства на пять областей, удовлетворяющее требуемому свойству, было возможным, то, соединив столицы соседних областей дорогой, пересекающей общую границу, мы получили бы пять городов, соединённых непересекающимися дорогами.

Чтобы не перегружать изложение, мы не формулировали явно, а лишь подразумевали нижеследующее требование. Предполагается, что каждая область гомеоморфна кругу.

Подробнее о понятии гомеоморфии мы поговорим в главе 11. Пока же нам будет достаточно следующего понимания фразы «область гомеоморфна кругу». Нанесём нашу область на плёнку, сделанную из неограниченно растяжимого и неограниченно сжимаемого материала, и вырежем её из плёнки по контуру границы. Гомеоморфность кругу означает, что без разрывов и склеиваний нашу область можно деформировать в круг. Например, кругу гомеоморфен не только квадрат и вообще любой многоугольник, но и боковая поверхность конуса, а также боковая поверхность цилиндра, если прорезать в ней щель.