Апология математики (сборник статей)

В математике принято отождествлять точку с набором её координат. При таком отождествлении точка прямой – это просто-напросто действительное число, а прямая (она же одномерное евклидово пространство) – это множество всех действительных чисел с евклидовым расстоянием между ними. Точно так же точка плоскости (двумерного евклидова пространства) – это пара действительных чисел (x, y), а сама плоскость – множество всех пар действительных чисел с евклидовым расстоянием между парами. Трёхмерное, четырёхмерное и т. д. пространство – это множество всех троек (всех четвёрок и т. д.) действительных чисел (x, y, z) с евклидовым расстоянием между тройками (четвёрками и т. д.).

Таким образом, нет нужды воображать существование какого-то четырёхмерного мира, объемлющего наш трёхмерный. Можно ограничиться изучением четвёрок действительных чисел и евклидовых расстояний между этими четвёрками. В своих строгих рассуждениях математики так и поступают. Однако одновременно пользуются и геометрическими образами, как если бы четырёхмерный мир существовал.

Более того, некоторые математики (автор этих строк к ним не принадлежит) выработали в себе значительную геометрическую интуицию и способны «видеть» (внутренним зрением, разумеется) фигуры четырёхмерного пространства. В мои студенческие годы желающих, среди которых был и я, собрали в одной из больших аудиторий университета и показали фильм «Вращение куба в четырёхмерном пространстве». На экране мелькали отрезки, я мало что понял, но впечатлился. Сделаю робкую попытку пояснить читателю, что именно происходило. Представим себе квадрат, расположенный в Флатландии, вращение этого квадрата вокруг его центра в пределах флатландской плоскости и флатландца, наблюдающего это вращение. На рис. 6 показаны два положения квадрата – А и B и наблюдающий флатландец (точнее, его глаз). Когда квадрат находится в положении А, наблюдатель видит отрезок, длина которого равна стороне квадрата. Когда квадрат придёт в положение B, наблюдатель увидит отрезок, длина которого равна диагонали квадрата. Во время вращения наблюдатель будет видеть отрезок варьирующейся длины, которая непрерывно изменяется от длины стороны до длины диагонали и обратно. Теперь представим себе другую картину. Примем, что квадрат состоит из одних своих сторон, а внутри он пустой. Пусть он вращается вокруг оси, проходящей через середины P и Q противоположных сторон, – с выходом за пределы Флатландии. На рис. 7 показаны два флатландских наблюдателя I и II. Что они увидят? Для наблюдателя I точки P и Q сольются в одну, её он будет видеть всё время, а в какой-то миг – проходящий через неё отрезок. Наблюдатель II будет всё время видеть две точки P и Q, а в какой-то миг – сторону квадрата, которая заслонит собою эти точки. Этот миг наступит, когда все стороны квадрата окажутся во Флатландии. А теперь представим себе, что вращение вокруг оси PQ некто, находящийся в трёхмерном, внешнем по отношению к Флатландии, пространстве, снимает (на плёнку, на диск или на что ещё теперь снимают), а затем показывает на плоском экране. Что увидит зритель на экране? Он увидит мелькание сторон периодически меняющего свою форму четырёхугольника. Аналогично если оператор, пребывающий в четырёхмерном, внешнем по отношении к нашему трёхмерному миру, пространстве, заснимет вращение куба, то мы увидим на экране мелькание граней этого куба. Что и узрели в конце 1940-х гг. студенты мехмата МГУ.

Таким образом, мы видим два подхода к многомерной (в частности, четырёхмерной) евклидовой геометрии, различающиеся скорее психологически, чем сущностно. При одном подходе четырёхмерное, пятимерное и т. д. евклидово пространство (как и пространства трёхмерное, двумерное, одномерное) состоит из геометрических точек, и каждая точка имеет числовые координаты. При другом оно состоит из наборов чисел, каковые наборы и являются точками. Каждый из этих подходов предполагает, что расстояние между точками евклидово. Наибольшую пользу приносит сочетание двух этих подходов. (Здесь прослеживается некоторая отдалённая аналогия с физикой, где электрон – и частица, и волна одновременно.)

Георгию Борисовичу Шабату принадлежит замечательный термин «плюриагорафобия» – боязнь многомерного пространства. В порядке борьбы с этой фобией слегка прикоснёмся к представлению о четырёхмерном кубе.

Возьмём единичный квадрат (квадрат со стороной, длина которой равна единице), такой, что одна из его вершин расположена в начале координат, а две другие – по координатным осям. Координаты его вершин таковы: (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Его граница состоит из четырёх отрезков.

Теперь возьмём единичный куб, одна вершина которого помещается в начале координат, а три другие – по координатным осям. Координаты восьми его вершин таковы: (0, 0, 0); (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1). Его граница состоит из шести квадратов.

Иногда бывает удобным называть квадраты двумерными кубами, а отрезки – одномерными кубами.