Апология математики (сборник статей)

Для них двумерная плоскость – это их мир, их вселенная; третье измерение недоступно их опыту. Они живут не на, а в плоскости (мы бы сказали «в её толще», если бы плоскость имела толщину). Представить себе трёхмерные тела они не в состоянии, но понимают, что такое два, одно и ноль измерений. Слово «поверхность» во флатландском языке отсутствует, поскольку нет ничего, что могло бы иметь поверхность. На уроках математики флатландским школьникам объясняют, что нет и не может быть такой прямой, которая проходила бы через вершину прямого угла и была перпендикулярна к двум его сторонам. Но некоторые флатландцы путём напряженных размышлений чисто умозрительно додумались до возможности существования трёхмерного мира с расположенными в нём трёхмерными телами, мира понятного нам с вами, живущим в этом мире, уважаемый читатель, флатландцам же недоступного. Эти же флатландцы утверждают, что если такой мир существует, то существует и та прямая, невозможность существования которой доказывают в школах; эта прямая протыкает Флатландию насквозь в вершине упомянутого прямого угла. Для пишущего эти строки важно, чтобы читатель понял, как устроена Флатландия, и проникся мировоззрением флатландцев. Может быть, кому-то покажется более понятным такая псевдофизическая модель Флатландии. Вместо плоскости возьмём тонкий слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями (для наглядности – горизонтальными). Потребуем, чтобы в этом слое действовало следующее мироустройство: все геометрические фигуры состоят не из точек, как мы привыкли, а из вертикальных отрезков, перпендикулярных к ограничивающим плоскостям и упирающихся в них концами. Отрезки эти неделимы, как атомы в представлениях, державшихся до начала ХХ в.; никаких частей у вертикальных отрезков не существует. Все движения в слое происходят лишь вдоль ограничивающих плоскостей; направлений вверх и вниз просто-напросто не существует. Это и будет Флатландия, мир которой, с точки зрения его обитателей, двумерен.

Вот так и мы, следуя примеру философов и математиков Флатландии, усилием воображения можем допустить существование четырёхмерного мира с расположенными в нём четырёхмерными геометрическими фигурами – гипертелами. Мы не назвали их четырёхмерными телами, чтобы избежать путаницы. Ведь в принятой нами системе терминов слово «тело» уже подразумевает трёхмерность.

Путаница может возникнуть и со словом «пространство». Оно очень многозначно. К сожалению, все его значения важны, поэтому выбрать какое-либо одно из них, а остальные запретить невозможно. В цитате из учебника Киселёва этим словом обозначалось обычное, «школьное» пространство, в котором располагаются шары и многогранники.

Это пространство трёхмерно и евклидово (термин будет разъяснён далее). В школе молчаливо предполагают, что это и есть то физическое пространство, которое нас окружает, говоря попросту, «наше пространство». (В главе 8 мы вкратце обсудили возможность того, что физическое пространство не является евклидовым.)

Вернёмся на несколько минут к Флатландии. Треугольники, изображенные на рис. 3, не конгруэнтны относительно плоскости, но – для нас! – конгруэнтны относительно пространства. С флатландской же точки зрения, они, разумеется, изометричны, но не конгруэнтны ни в каком смысле, поскольку возможности выхода в трёхмерное пространство не существует во флатландском миропонимании. Но это если говорить о миропонимании флатландского обывателя, «человека с улицы». Однако, как уже было сказано, некоторые флатландские мыслители осознали теоретическую возможность существования третьего измерения и того, что указанные треугольники конгруэнтны относительно трёхмерного мира. Таким образом, эти мыслители (математики, философы, фантасты) допускают возможность такого, выходящего за пределы Флатландии перемещения, при котором один из треугольников с рис. 3 превратится в другой. Попытаемся взять пример с этих продвинутых, пытливых флатландцев и допустить, скажем, такое выводящее за пределы нашей трёхмерной Вселенной перемещение, при котором одна из пирамид с рис. 4 превращается в другую. Собственно, нет нужды ходить за примерами в Флатландию, вдохновляющий пример можно найти и на Земле, а именно у Г. Дж. Уэллса.