Апология математики (сборник статей)

Тем не менее очевидно наличие некой общности между членами каждой из пар фигур, представленных на рис. 2–5. Та же общность связывает левую и правую кисти рук, а также любой предмет с его отражением в зеркале. Сказать, что эта общность заключается в равенстве размеров, недостаточно. Каких именно размеров? Ведь, скажем, существуют весьма отличающиеся на глаз ромбы с совпадающими длинами сторон: бывают – или надо сказать «были»? – подставки для чайников в виде ромба с шарнирами по углам, изменяющие свою форму. Речь идёт о равенстве всех размеров, но это, конечно, требует уточнения. С этой целью вспомним обсуждавшееся в главе 7 понятие взаимно однозначного соответствия и рассмотрим взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек одной геометрической фигуры и множеством всех точек другой фигуры. Это соответствие называется изометрическим, коль скоро сохраняются расстояния между точками. Слова «сохраняются расстояния между точками» расшифровываются следующим образом: пусть при рассматриваемом соответствии точкам А и В первой фигуры соответствуют точки А₁ и В₁ второй фигуры; тогда расстояние между А₁ и В₁ должно быть равно расстоянию между А и В. Две геометрические фигуры называются изометричными, коль скоро между множествами их точек можно установить изометрическое соответствие. Каждый из треугольников на рис. 2 изометричен другому. То же справедливо для треугольников на рис. 3, для треугольных пирамид на рис. 4, для узлов на рис. 5. Левая и правая кисти изометричны; произвольный предмет изометричен своему зеркальному отражению. Понятие изометричности (она же изометрия), в отличие от конгруэнтности, абсолютно: наличие или отсутствие у фигур изометрии не зависит от того, рассматриваются ли они планиметрически, в пределах плоскости, или же стереометрически, в пределах пространства.

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Если две фигуры, расположенные в одной и той же плоскости, изометричны друг другу, то они конгруэнтны, т. е. могут быть совмещены путём перемещения (возможно, с выходом в пространство, за пределы плоскости). Изометричные фигуры в пространстве необязательно конгруэнтны, т. е. необязательно допускают совмещение посредством перемещения (см. рис. 4–5).

Четвёртое измерение – брать пример с мыслителей Флатландии

Первоначальный вариант очерка «Апология математики» был напечатан в журнале «Новый мир» в 2007 г., в последних двух номерах. Статью прочёл Андрей Анатольевич Зализняк и 7 января 2008 г. прислал мне письмо, в котором, в частности, отмечал: