Апология математики (сборник статей)

Геометрические фигуры бывают плоские и пространственные («объёмные»); последние называются геометрическими телами. Примерами тел, изучаемых в средней школе, служат пирамиды, параллелепипеды, шары, конусы, цилиндры. Плоскую фигуру можно определить как часть плоскости, пространственную – как часть пространства. Плоские фигуры изучаются в планиметрии, пространственные – в стереометрии. Текст из учебника Киселёва написан с позиции стереометрии, в ней все геометрические фигуры, включая поверхности и линии, видятся расположенными в пространстве. При изучении планиметрии слово «поверхность» не произносят, хотя все такие плоские фигуры, как круг или многоугольник, при включении их в дискурс (автор не смог удержаться от искушения употребить модное словцо) стереометрии являются поверхностями.

Термин, обозначающий математическое понятие 'поверхность', как в русском, так и в других языках, происходит от бытового представления о поверхности чего-нибудь – стола, воды, Земли. Это прослеживается и в приведённой цитате. Однако такое понимание создает определённые неудобства. Скажем, чтобы подвести под определение поверхности платок (толщиной платка мы пренебрегаем), который может быть и не плоским, его необходимо непременно представить себе границей какого-то тела или дополнить до такой границы. Полезно поэтому иметь в виду следующее. Источником понятия (не слова, а понятия!) поверхности служит представление об очень тонком слое. Аналогично источником понятия линии служит представление об очень тонкой нити. Можно сказать, что поверхность – это бесконечно тонкий слой, линия – бесконечно тонкая нить (а точка – бесконечно малый кружочек). Вопрос к читателю: сфера – это тело или поверхность? Если отождествлять, как это нередко делают, понятия 'сфера' и 'шар', тогда, конечно, сфера есть тело. Но такое отождествление терминологически неправильно. Терминологически правильный ответ таков: сфера – это поверхность шара, а шар – это часть пространства, ограниченная сферой. Точно так же окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

А теперь посмотрим на тор. Тор – эта геометрическое тело, к форме которого в той или иной степени приближаются баранка, бублик[76], спасательный круг, обруч хулахуп. Энциклопедические словари определяют тор как геометрическое тело, полученное вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Но прибавляют: «Поверхность, ограничивающую тор, иногда также называют тором»[77]. Если тор понимают как тело, то его поверхность называют поверхностью тора. Если же тор понимают как поверхность, то ограниченное ею тело называют полноторием – с двумя употребительными вариантами именительного падежа: полноторие и полноторий. Но чаще всего, пренебрегая тонкостями, говорят просто «тор», извлекая смысл из контекста. Автор не уверен, что сумеет избежать подобной двусмысленности, устраняемой лишь контекстом, но будет очень стараться. И тор как тело и тор как поверхность не односвязны (это слово пока для нас всего лишь термин из формулировки проблемы Пуанкаре, а что оно значит, будет объяснено ниже).

Равенство, конгруэнтность, конгруэнция, изометрия

В средней школе, как известно, вводится понятие равенства геометрических фигур, в частности треугольников. В § 35 уже цитированного учебника Киселёва говорится: «Два многоугольника, как вообще две какие-нибудь геометрические фигуры, считаются равными, если они при наложении могут быть совмещены».

Хотелось бы привлечь внимание любезного читателя к тому, что Киселёв употребляет слово «считаются», подчёркивая тем самым конвенциональность (условность) термина «равный», определение которому даётся в цитате. Потому что основное значение этого термина состоит в совпадении. Когда говорят, что дважды два равно четырём, то имеют в виду, что число с именем «дважды два» и число с именем «четыре» – это одно и то же число. Именно такое совпадение и выражает знак равенства в формуле 2 · 2 = 4 (совпадение не выражений 2 · 2 и 4, а тех сущностей, которые обозначены этими выражениями). То же происходит и в обычном языке. Как мы уже отмечали, когда говорят «все люди равны», то непременно прибавляют (или подразумевают), в чём они равны: в правах, достоинстве или в чём-то ином. Но выяснить, совпадение каких сущностей имеется в виду при определении равенства многоугольников или в чём равны эти многоугольники, не так-то просто. Андрей Петрович Кисёлев в приведённой цитате вынужден констатировать принятое в школьной математике словоупотребление. Видимо, он сам от него не в восторге, что доказывается нижеследующим подстрочным примечанием к слову «совмещены», где то, что в предыдущей цитате было названо равенством, получает более правильное название конгруэнтность: