Апология математики (сборник статей)

В некоторых случаях мне очень не хватает каких-то Ваших «человеческих» (образных, через аналогии и т. п.) попыток помочь читателю выйти мыслью за рамки своего нормального земного мышления. Так, мне кажется, всё это у Вас сделано, например, в вопросе о параллельных. Но мне очень хотелось бы чего-то подобного, в частности, в вопросе о четвёртом и прочих измерениях. Мне кажется, Вы не учитываете, что для 99 % читателей (из тех, кто вообще слыхал, что бывает больше чем три измерения) четыре измерения – это три обычных измерения + время (так сказать, хронотоп). И что они, следовательно, думают совсем не о том, читая Вас.

Нет ли способа дать читателю хоть какой-нибудь glimpse[80] о том, в каком примерно направлении (по сравнению с земной жизнью) устремляют своё воображение математики, когда они создают понятие четвёртого (пятого и т. д.) измерения? Ведь не из землемерия же это родилось. На Ваших страницах понятие четвёртого измерения появляется, если не ошибаюсь, так, как если бы читателю оно уже должно было быть если не понятным, то по крайней мере привычным.

Признаюсь, что без этого лично я не смог составить себе ни какого удовлетворительного представления о том, что такое трёхмерная сфера и, следовательно, о теореме Пуанкаре – Перельмана.

В настоящей подглавке я старался, как мог, исполнить пожелания Андрея Анатольевича.

Линии (в частности, прямые и окружности) одномерны, поверхности (в частности, плоскости и сферы) двумерны, точки нольмерны. Смысл этого утверждения можно пояснить следующим образом. Положение точки, лежащей на линии, задаётся указанием одного действительного числа; положение точки, лежащей на поверхности, – указанием двух чисел; чтобы задать положение точки в пределах самой этой точки, не нужно вообще никаких чисел, поскольку возможен лишь единственный вариант. Числа, задающие положение точки, называются её координатами. Таким образом, положение точки на линии определяется одной координатой, на поверхности – двумя координатами, на точке (или в точке – не знаю, как лучше) – нолём (нулём) координат. Координатой точки на линии может служить расстояние, пройденное этой точкой при движении вдоль линии (мы ссылаемся здесь на цитату из Киселёва). Посмотрим, откуда могут взяться (возможны и другие способы!) те две координаты, которые определяют положение точки на поверхности. Первая координата – это координата рассматриваемой точки на той линии, движением которой образована наша поверхность. Вторая координата – это то расстояние, которое прошла точка при движении линии по поверхности; данное расстояние может измеряться длиной, углом или ещё как-нибудь. Когда в школе в рамках курса математики изучают координаты на плоскости (абсциссу и ординату), исходят из измерения длин. Когда же на уроках географии знакомятся с координатами на поверхности Земли (широтой и долготой), исходят из измерения углов. Рекомендуем читателю подумать, как можно ввести координаты на поверхности тора.

Тела трёхмерны, и положение точки тела определяется тремя координатами. Чтобы задать, скажем, положение точки в толще Земли, надо указать две координаты на поверхности и затем третью, показывающую глубину.

В нашем мире нет четырёхмерных геометрических фигур. Но если очень напрячь воображение, можно представить себе их существование. Для этого перенесёмся в воображаемый плоский мир, так называемую Флатландию. Флатландия – это плоскость, населённая плоскими, не имеющими толщины существами – флатландцами.