Апология математики (сборник статей)

Фигуры, могущие совместиться при наложении, называются конгруэнтными, а самое совмещение – конгруэнцией. Различают конгруэнцию прямую и непрямую. Прямою конгруэнция называется тогда, когда совмещение может быть выполнено посредством передвижения одной из конгруэнтных фигур по плоскости, в которой фигуры лежат; если же для совмещения фигур такого передвижения недостаточно, но надо ещё перевернуть одну из фигур другою стороною, то конгруэнция называется непрямою. Например, треугольники, изображённые на рис. 2[78], прямо конгруэнтны, а треугольники на рис. 3 непрямо конгруэнтны.

К сожалению, сделав это примечание, Киселёв уступает сложившейся практике и в дальнейшем термин «конгруэнтный» не употребляет. Что же касается фигур стереометрии, то даже и термин «равенство» применяется в учебнике Киселёва только к трёхгранным углам, да и то лишь в параграфах, набранных мелким шрифтом (§ 401–402).

Мы же будем следовать сделанному Киселёвым примечанию и применительно к геометрическим фигурам вместо школярского слова «равно» употреблять слово «конгруэнтно». Вот ещё пример на противопоставление прямой и непрямой конгруэнций: начертания прописных букв Р и Ь не являются прямо конгруэнтными, но непрямо конгруэнтны. Ясно, что в случае пространственных фигур непрямая конгруэнция невозможна, поскольку невозможно «перевернуть одну из фигур другою стороною». Поэтому человек не конгруэнтен своему отражению в зеркале, а правая кисть руки не конгруэнтна левой. Простой геометрический пример зеркально симметричных, но не конгруэнтных тел дан на рис. 4. Более изысканный пример представлен на рис. 5, где изображены два заузленных верёвочных кольца (при математическом изучении узлов[79] их свободные концы принято склеивать, чтобы узел было невозможно развязать).

Откажемся от понятия непрямой конгруэнции (тем более что её нет для фигур стереометрии) и будем отныне конгруэнтными называть только такие фигуры, которые допускают прямую конгруэнцию, т. е. совпадающие при перемещении. И здесь мы подходим к представлению почти философскому – представлению об относительности конгруэнтности. Треугольники, показанные на рис. 3, оказываются неконгруэнтными, если числить их по ведомству плоскости, т. е. рассматривать, не выходя за пределы той плоскости, в которой они расположены; и они же конгруэнтны, если числить их расположенными в пространстве и тем самым разрешать выход за пределы плоскости. То же самое можно отнести к силуэтам или отпечаткам левой и правой ладоней: они конгруэнтны относительно пространства, но не конгруэнтны относительно плоскости.