Апология математики (сборник статей)

В 1896 г. Уэллс написал уже упоминавшуюся «Историю Платтнера» – рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер, совершивший фантастическое путешествие, возвращается из него зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой, и тело его имело нормальное строение, за исключением лёгкой асимметрии: «Левый глаз немного больше правого, и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны». А вот каким он сделался после путешествия: «Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая – с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево»[81]. Заметим, что «новый» Платтнер изометричен самому себе «старому».

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: «Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если поднимете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир».

Называя пространство евклидовым, мы тем самым подчёркиваем, что в нём выполняются аксиомы Евклида. В школьной математике слова «трёхмерное» и «евклидово» опускают и говорят просто «пространство», предполагая его и евклидовым, и трёхмерным. В этом пространстве, в отличие от Флатландии, можно найти три попарно перпендикулярных луча, исходящих из одной точки, но вот четвёртого луча, перпендикулярного к этим трём, найти не удаётся; более того, можно доказать, что такого луча и не существует. Однако если допустить возможность прямых, протыкающих пространство ровно в одной точке, то можно построить и четвёртый луч.

Евклидово расстояние

Евклидовость пространства можно определить и без ссылок на аксиомы Евклида. Дело в том, что в трёхмерном евклидовом пространстве расстояние s между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂) задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² + (z₁ – z₂)².

Вот эта формула задания расстояний в трёхмерном пространстве и определяет его евклидовость. Иначе говоря, евклидовым называют такое трёхмерное пространство, в котором расстояние задаётся указанной формулой.

На плоскости расстояние s между двумя точками с координатами (x₁, y₁) и (x₂, y₂) задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)².

Поэтому плоскость называют двумерным евклидовым пространством.

На прямой расстояние s между двумя точками с координатами x₁ и x₂ задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)².

Поэтому прямую называют одномерным евклидовым пространством.

Расстояния, определяемые выписанными формулами, называются евклидовыми. Приведём для ясности пример неевклидовых расстояний. Таковы, в частности, все расстояния, измеряемые по поверхности Земли, если считать Землю эллипсоидом. Чтобы получить евклидово расстояние между двумя точками на земной поверхности, надо провести через эти две точки прямую, которая неизбежно будет проходить в толще планеты, и измерить длину соединяющего точки отрезка. Для жителей Земли, однако, больший интерес представляют именно расстояния по поверхности.

Надеемся, читатель уже понял, что положение точки в четырёхмерном пространстве задаётся четырьмя координатами. При этом евклидовость четырёхмерного пространства означает, что евклидовым является расстояние s между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁, u₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂, u₂), т. е. что оно задаётся формулой

s² = (x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² + (z₁ – z₂)² + (u₁ – u₂)².

Точка в шестимерном пространстве имеет шесть координат. Предоставляем читателю написать формулу евклидова расстояния между точкой с координатами (x₁, y₁, z₁, u₁, v₁, w₁) и точкой с координатами (x₂, y₂, z₂, u₂, v₂, w₂).