Апология математики (сборник статей)

А теперь изложим понятие гомеоморфии более четко. Для этого достаточно уточнить, какое преобразование одной геометрической фигуры в другую мы назовём гомеоморфизмом, поскольку гомеоморфия двух фигур есть не что иное, как возможность преобразовать одну фигуру в другую посредством гомеоморфизма. Итак, приступим.

Перечислим главные свойства гомеоморфизма. Очевидно, во-первых, что каждая точка исходной фигуры переходит в какую-то точку результирующей фигуры (а не уходит в никуда), и притом только в одну точку (а не несколько точек). Во-вторых, никакие две точки исходной фигуры не переходят в одну и ту же точку, иначе произошло бы склеивание, что запрещено. Поэтому возникающее при гомеоморфизме соответствие между точками двух фигур является взаимно однозначным: каждой точке первой фигуры соответствует ровно одна точка второй фигуры, и каждая точка второй фигуры соответствует ровно одной точке первой фигуры.

С понятием взаимно однозначного соответствия мы уже встречались в главе 7. Поскольку при взаимно однозначном соответствии точки не могут склеиваться, запрет на склеивание выполняется автоматически.

Обсудим теперь запрет на разрывы. Здесь потребуется ввести важное геометрическое понятие точки прикосновения. Вот что писал о понятии прикосновения вообще Лобачевский в своём сочинении «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (упомянутом в главе 8):

Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и даёт им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные.

Возьмём какую-нибудь геометрическую фигуру, а в ней – какую-нибудь её часть. Точка нашей фигуры называется точкой прикосновения для рассматриваемой части, если в любой близости от этой точки найдётся хотя бы одна точка указанной части. (Ясно, что каждая точка выделенной части является её точкой прикосновения, ведь в любой близости от неё найдётся она сама.) Понятие 'в любой близости' будет уточнено позже. Теперь же мы можем так сформулировать запрет на разрывы: гомеоморфизм сохраняет отношение прикосновения; это означает, что если в исходной фигуре какая-то точка была точкой прикосновения для какой-то части, то то же будет и с теми точкой и частью результирующей фигуры, в которые перейдут исходные точки и часть. (Рекомендуем читателю убедиться, что отношение прикосновения нарушается при попытке деформировать правую фигуру рис. 16 в среднюю.)

Какой смысл, вообще говоря, несет в себе утверждение, что некоторое свойство или отношение сохраняется при преобразовании? Это можно понимать в двух смыслах – слабом и сильном. Поясним на примерах. Рассмотрим преобразование натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5, …} в множество чётных чисел {2, 4, 6, 8, 10, …}, при котором каждое число n переходит в число 2n. Рассмотрим свойство 'делиться на 4'. Ясно, что если n обладает этим свойством, то им обладает и 2n. Мы вправе сказать, что свойство 'делиться на 4' сохраняется при данном преобразовании. Однако 2n может делиться на 4 и тогда, когда n на 4 не делится (например, при n = 6). Здесь сохранение свойства понимается в слабом смысле. Сильный смысл означал бы, что 2n может делиться на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится n.

Именно так будет с тем же свойством 'делиться на 4' при преобразовании натурального ряда в множество {3, 6, 9, 12, 15, …}, при котором каждое число n переходит в число 3n. В дальнейшем сохранение свойств условимся понимать именно в сильном смысле. А именно: говоря про какое-то свойство, что оно сохраняется при данном преобразовании, будем иметь в виду соблюдение двух условий: во-первых, если исходный объект обладает рассматриваемым свойством, то и результирующий объект обладает этим свойством; во-вторых, если исходный объект не обладает этим свойством, то и результирующий объект им не обладает. Точно так же, в сильном смысле, будем понимать сохранение отношений. Слова «отношение сохраняется при данном преобразовании» будут означать следующее: если исходные объекты находятся в этом отношении, то и результирующие объекты находятся в том же отношении; если же исходные объекты не находятся в этом отношении, то и результирующие объекты в нём не находятся.

Суммируя сказанное, можно предложить следующее определение гомеоморфизма: гомеоморфизм есть взаимно однозначное преобразование, сохраняющее отношение прикосновения между точками и частями геометрических фигур.