Апология математики (сборник статей)

7. Ещё один пример компактного многообразия, естественным образом возникающий в механике, – пространство положений твёрдого тела с закреплённой точкой. Пусть наше тело – шар, который может как угодно вращаться в трёхмерном пространстве, однако центр его должен занимать фиксированное положение. Чтобы описать возможные положения шара, отметим на его граничной сфере точку и приложим к этой точке стрелку, указывающую определённое направление на сфере. Строго говоря, мы рассматриваем вектор, касающийся сферы в данной точке. Проследим, куда этот вектор переходит при вращении. Ясно, что, вращая шар, мы можем получить любой другой касательный вектор той же длины (примем её за единицу) и что знание этого вектора однозначно определяет положение шара. Таким образом, конфигурационное пространство в этом случае гомеоморфно пространству единичных касательных векторов к сфере. Можно доказать, что это неодносвязное компактное трёхмерное многообразие, которое может быть получено из трёхмерной сферы отождествлением всех пар антиподов (т. е. диаметрально противоположных точек). Это многообразие называется трёхмерным проективным пространством.

8. Построим теперь другой пример компактного трёхмерного многообразия, имеющий непосредственное отношение к проблеме Пуанкаре, – так называемую сферу Пуанкаре. Это пространство всех додекаэдров, вписанных в данную двумерную сферу. Его можно также получить следующим образом: сперва произвольно выберем какой-нибудь из таких вписанных додекаэдров, а затем рассмотрим все вращения сферы и отождествим те из них, при которых этот додекаэдр переходит в одно и то же положение. Каждому додекаэдру при этом соответствует 60 вращений, поскольку существует 60 вращений сферы, переводящих заданный додекаэдр сам в себя. Сфера Пуанкаре оказывается неодносвязной. Этот пример неодносвязного компактного трёхмерного многообразия принадлежит Пуанкаре. Он обнародовал его в 1904 г. в опровержение собственной неверной теоремы, опубликованной в 1900 г. Теорема утверждала, что компактное трёхмерное многообразие, в известном смысле похожее на трёхмерную сферу, и есть трёхмерная сфера (гомеоморфные многообразия считаются одним и тем же многообразием!). Обнаружив контрпример к своей теореме, Пуанкаре сформулировал её правильную (как мы теперь знаем) версию в виде знаменитой гипотезы, заметив, что её обсуждение «увело бы нас слишком далеко». Пуанкаре был прав: на доказательство его гипотезы ушло 100 лет.

Глава 12 Какой может оказаться наша Вселенная?

…С каких пор начали исследовать глубину познаний?

Н. В. Гоголь. Игроки. Явление VIII

Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре – Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь – вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира – одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, а потому узнать, чтó там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем больше. Да и сам смысл вопроса об её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того, она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, какие трудно себе представить, она объясняет, как такое может быть. К числу подобных возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость. (Вспомним формулировку проблемы Пуанкаре и из педантизма отметим, что конечность многообразия следует из его компактности, неориентируемость же, напротив, несовместима с односвязностью.)