Апология математики (сборник статей)

пример из жизни кодовых замков. Дверные кодовые замки бывают двух типов. В одном из них кнопки надо нажимать последовательно и притом в определённом порядке, в другом – одновременно. Ограничимся случаем, когда комбинация состоит из двух цифр, скажем цифры 0 и цифры 5. В замках первого типа комбинация 05 неравносильна комбинации 50, в замках второго типа – равносильна. Так что фразы «Нажмите 0 и 5» и «Нажмите 5 и 0» не синонимичны для замков первого типа, но синонимичны для замков второго типа. Если говорящий опасается, что слушающему неизвестно, к которому из типов принадлежит замок, он должен в первом случае сказать: «Нажмите последовательно 0 и 5» или «Нажмите последовательно 5 и 0», а во втором – «Нажмите одновременно 0 и 5» или «Нажмите одновременно 5 и 0». Слово «одновременно» подаёт сигнал о том, что цифры 0 и 5 равноправны. Мыслим (хоть я таких и не встречал) и третий тип замков, в которых нажимать кнопки надо хотя и последовательно, но безразлично в каком порядке. Для замков третьего типа сигналом о равноправии служит словосочетание «в любом порядке»; для замка этого типа синонимичны фразы «Нажмите в любом порядке 0 и 5» или «Нажмите в любом порядке 5 и 0».

второй пример из гоголя. После описанной в 9-й главе «Мёртвых душ» беседы Анны Григорьевны (дамы, приятной во всех отношениях) с посетившей её Софьей Ивановной (просто приятной дамой) «весь город заговорил про мёртвые души и губернаторскую дочку, про Чичикова и мёртвые души, про губернаторскую дочку и Чичикова». В гоголевской фразе названы три пары. Состав их таков. Имеются три предмета: 1) мёртвые души; 2) губернаторская дочка; 3) Чичиков. Обозначим их для краткости М, Г, Ч. Каждая пара содержит какие-то два предмета из этих трёх: первая пара – М и Г, вторая – Ч и М, третья – Г и Ч. Для каждой пары в качестве её имени или названия Гоголем используется словосочетание, состоящее из соединённых союзом «и» имён членов пары. В каждом таком словосочетании имена членов пары не могут не идти в определённом порядке, и этот порядок, казалось бы, сообщает о предпочтениях, которые говорящий (в данном случае – Гоголь) имеет в виду (не вообще, конечно, а только в этой фразе). Казалось бы, имя первой пары сообщает, что (1) М главнее, чем Г; имя второй пары – что (2) Ч главнее, чем М; имя третьей пары – что (3) Г главнее, чем Ч. Однако утверждения (1), (2) и (3), взятые вместе, приводят к очевидной нелепости. Единственное, на наш взгляд, разумное объяснение возникшей кризисной ситуации таково. Гоголь не предполагает отдать предпочтение какому-то из трёх объектов – М, Г или Ч; напротив, он трактует их в процитированной фразе как равноправные. Однако, называя какую-либо пару предметов, он просто не может, если бы и желал, не поставить имя одного из них на первое место, а имя другого – на второе.

Наша интерпретация второго примера из Гоголя станет ещё прозрачнее, если привлечь некие простейшие понятия из области оснований математики. Мы изложим понятия ниже в § 11, а в § 12 вернёмся к Гоголю.