Апология математики (сборник статей)

В отличие от неупорядоченной пары, упорядоченная пара, составленная из объектов а и b, заключает в себе ещё и информацию о том, какое место в паре занимает каждый из членов пары. Мест в упорядоченной паре два. Для единообразия эти места обычно называют первым и вторым. Можно было бы называть их по-другому: например, белым и чёрным, красным и зеленым, левым и правым или ещё как-нибудь; важно лишь, что эти места как-то помечены и отличаются одно от другого. Упорядоченная пара, в которой объект а является первым, а объект b – вторым, обозначается посредством заключения в угловые скобки их имён, взятых в надлежащем порядке: <а, b>. Упорядоченная пара, в которой объект b является первым, а объект а – вторым, обозначается, следовательно, так: <b, а>. Эти две пары считаются различными, если только различны сами а и b. Таким образом, из двух различных объектов можно составить ровно две упорядоченные пары. Если же объекты а и b совпадают, то в этом (и только в этом!) случае, конечно, <a, b> = <b, а>.

Понятия упорядоченной и неупорядоченной пары позволяют следующим образом представить те две ситуации, о которых говорилось в § 3. В ситуации, когда ни одному из объектов не отдаётся предпочтения, возникает неупорядоченная пара этих объектов. В ситуации, когда одному из объектов отдаётся предпочтение, возникает упорядоченная пара этих объектов. Надо только договориться, какой объект считать в этом случае первым, а какой – вторым членом пары. Ведь распределение мест в упорядоченной паре совершенно условно; оно определяется явным соглашением, а не тем, который из объектов главнее или назван в тексте раньше другого. Давайте согласимся предоставлять первое место в упорядоченной паре главному объекту (но мы вправе были бы и сделать наоборот).

Теперь мы можем сформулировать сказанное в предпоследнем абзаце § 9 следующим образом: двучлен, понимаемый как имя пары объектов, может служить как именем упорядоченной пары, так и именем неупорядоченной пары, составленной из этих объектов. Можно сказать, что двучлен обладает полисемией.

§ 12

Вернёмся ко второму примеру из Гоголя, изложенному в § 8.

Из трёх различных предметов М, Г и Ч можно составить ровно три неупорядоченные пары, а именно {М, Г} {Ч, М}, {Г, Ч}, и ровно шесть упорядоченных пар, а именно <М, Г>, <Г, М>, <Ч, М>, <М, Ч>, <Г, Ч>, <Ч, Г>.

Мы видим, что в гоголевском тексте перечислена исчерпывающая совокупность всех неупорядоченных пар, составленных из элементов трёхэлементного множества {Чичиков, губернаторская дочка, мёртвые души}. Это наблюдение служит дополнительным аргументом в пользу той точки зрения, что в этом тексте для каждого двучлена референтом служит именно неупорядоченная пара соответствующих предметов. Если бы Гоголь хотел перечислить упорядоченные пары, он писал бы: «про мёртвые души и губернаторскую дочку, про губернаторскую дочку и мёртвые души, про Чичикова и мёртвые души, про мёртвые души и Чичикова, про губернаторскую дочку и Чичикова, про Чичикова и губернаторскую дочку».

§ 13

Когда человека просят указать свои имя и отчество, то ему как бы предлагают виртуальную анкету с двумя позициями: первая позиция – имя самого этого человека, вторая позиция – имя его отца. С тем же успехом можно было бы договориться, что, напротив, первая позиция – имя отца, а вторая позиция – имя анкетируемого. Но тот или иной вариант необходимо выбрать и далее уже не менять. Для определённости остановимся на первом варианте.

При таком понимании словосочетание «Иван Петрович» оказывается представленным в виде упорядоченной пары ‹Иван, Пётр›, а словосочетание «Пётр Иванович – в виде упорядоченной пары ‹Пётр, Иван›. Словосочетания «Иван Иванович» и «Пётр Петрович» будут представлены соответственно в виде упорядоченных пар <Иван, Иван> и <Пётр, Пётр>.

Можно представить себе, что, отвечая на вопрос об имени-отчестве, мы как бы заполняем анкету, вписывая в каждую из двух граф соответствующее имя. Заполненную анкету можно трактовать как текст, а тогда присутствующие в ней два имени образуют двучлен. Например, для имён-отчеств из предыдущего абзаца получаем такие двучлены: [Иван, Пётр], [Пётр, Иван], [Иван, Иван], [Пётр, Пётр]. Каждый подобный двучлен является именем некоторой пары, служащей для этого двучлена референтом. Очевидно, что в данном случае составляющие двучлен имена употребляются автонимно (см. § 10), и потому, скажем, двучлен [Иван, Пётр] означает не пару, составленную из Ивана и Петра, а пару, составленную из имён «Иван» и «Пётр».