Человечество: История. Религия. Культура. Древняя Греция

Об авторе «Начал» – Евклиде (ок. 325 г. до Р. Х. – до 265 г. до Р. Х.) – сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил в Александрии, где при египетских царях Птолемеях возник крупнейший для той эпохи научно-учебный центр – Музейон.

При написании «Начал» Евклид, по-видимому, не стремился составить энциклопедию математических знаний. Его целью было изложение основ математики в виде логически завершенной математической теории, исходящей из минимума исходных положений.

«Начала» состоят из тринадцати книг, каждая из которых представляет собой последовательность теорем. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты.

Определения – это положения, с помощью которых автор вводит математические понятия путем их пояснения. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами» и т. п.

Аксиомы, или общие понятия, у Евклида – это предложения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом в «Началах» пять:

1. Равные одному и тому же, равны между собой;

2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;

3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;

4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;

5. Целое больше части.

В число исходных положений «Начал» входят также постулаты (требования), т. е. утверждения о возможности геометрических построений. С их помощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:

1. Через две точки можно провести прямую;

2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;

3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность;

4. Все прямые углы равны между собой;

5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

Первые шесть книг «Начал» посвящены изложению планиметрии. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.

На материале первой книги выявляются некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы изложения Евклида.

а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению.

б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих частей: формулировка задачи, или теоремы; введение чертежа для формулировки задачи; формулировка по чертежу искомого; введение вспомогательных линий; доказательство в собственном смысле; объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу.

в) Средства геометрического построения – циркуль и линейка – принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» не идет речь об измерении длин отрезков, а лишь об их отношениях.

Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

Третья книга толкует о свойствах круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена свойствам правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также построению правильных 3 – , 5 – , 6 – и 15 – угольников.

В пятой книге «Начал» развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа. Здесь же приводится теория пропорций.

Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур и т. п.