Энциклопедический словарь юного математика

Итак, если X является (m×n)-матрицей, а Λ - (n×s)-матрицей, то их произведением называют (m×s)-матрицу A = X Λ, состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц n-го порядка снова получается квадратная матрица n-го порядка.

Особую роль играет матрица E

,

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы n×n X имеем: XE = EX = X, т.е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы X отличен от нуля, то существует обратная ей матрица X^-1, такая, что XX^-1 = X^-1X = E. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например (XY)Z = X(YZ), X(Y + Z) = XY + XZ и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т.е., вообще говоря, XY ≠ YX.

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

    (2)

связаны матрица A = (a_ij), составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице A столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н.э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.

МНОГОГРАННИК

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажный дом (с горизонтальной крышей) – прямоугольные параллелепипеды; молочные пакеты-тетраэдры или тоже параллелепипеды; граненый карандаш, гайка дают представление о призмах (впрочем, параллелепипед – это тоже четырехугольная призма). Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды или усеченные пирамиды – такие формы имеют знаменитые египетские пирамиды или башни Кремля. Многие многогранные формы, например «домик» на рис. 1 и «круглый дом» на рис. 2, не имеют специальных названий. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. Чтобы исключить из рассмотрения многогранные фигуры типа изображенных на рис. 3, которые не принято называть многогранниками, на многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других: 1) отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике, 2) многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера (см. Топология), устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р и граней Г:

B - P + Г = 2.

Для невыпуклых многогранников это соотношение, вообще говоря, неверно, например для многогранной поверхности, изображенной на рис. 2; B = Г = 24, P = 48, поэтому B - P + Г = 0. Число χ = B - P + Γ называется эйлеровой характеристикой многогранника и может равняться 2,0,-2,-4,-6,.... Эйлерова характеристика показывает, грубо говоря, сколько «дырок» имеет многогранник. Число дырок p = 1 - χ/2 (или χ = 2 - 2p).

Простейшая классификация по числу вершин (углов, сторон) для многогранников неэффективна. Самые простые многогранники – четырехвершинники или четырехгранники – всегда ограничены четырьмя треугольными гранями. Но уже пятигранники могут быть совершенно разных типов, например: четырехугольная пирамида ограничена четырьмя треугольниками и одним четырехугольником (рис. 4,а), а треугольная призма ограничена двумя треугольниками и тремя четырехугольниками (рис. 4,б). Примеры пятивершинников – четырехугольная пирамида и треугольный диэдр (рис. 4,в).

Рис. 4