Энциклопедический словарь юного математика

Евклид в своих «Началах» кроме построения двух указанных серий многоугольников приводит построения правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника (а вместе с ними еще двух серий M_n: для n = 5·2^m и n = 15·2^m. Построение пятиугольника или десятиугольника сводится к так называемому «золотому сечению» отрезка. Ясно, что для построения M₁₀ достаточно по известному радиусу описанной окружности R построить сторону x десятиугольника. Рассматривая один из десяти треугольников со сторонами OA = OB = R, AB = x и углами AOB = 36°, A = B = 72°, из которых составлен десятиугольник, после проведения биссектрисы BC (рис. 9), из подобия треугольников OAB и ABC и равенства отрезков AB,BC,OC получаем пропорцию x/(R-x) = R/x, которая с античных времен называется «золотой». Она показывает, что точка C делит отрезок OA так, что большая часть относится к меньшей так же, как весь отрезок к большей части. Такое деление отрезка и называют «золотым сечением». Пропорция записывается как уравнение

x² + Rx - R² = 0,

из которого

x = R(√5 - 1)/2.

Рис. 9

Конечно, по отрезку R легко построить и отрезок R√5 (рис. 10), а затем и x. Короткое построение дано на рис. 11: отрезок OE дает сторону правильного десятиугольника, BE – пятиугольника, вписанных в окружность с центром O.

Рис. 10

Рис. 11

Поскольку построение M_n эквивалентно построению угла в 360°/n, а углы 60° = 360°/n и 36° = 360°/10 мы уже умеем строить, то по ним строится и угол 60° - 36° = 24° = 360°/15, а значит, и правильный пятнадцатиугольник.

Прошло более двух тысячелетий, прежде чем евклидов список n-угольников удалось пополнить. Это сделал в 1796 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс: используя алгебраические идеи, он дал построение правильного семнадцатиугольника и доказал невозможность построения с помощью только циркуля и линейки правильных n-угольников при n = 7 и 9. Отметим, что построение правильного девятиугольника давало бы угол в 360°/9 = 40°, а вместе с ним и угол в 20°=60°/3, т. е. трисекцию угла в 60°, которую невозможно осуществить циркулем и линейкой (см. Классические задачи древности). Более того, К. Ф. Гаусс доказал, что построение M_n при нечетном n осуществимо тогда, и только тогда, когда n является простым числом вида  или произведением нескольких таких различных чисел, называемых числами Ферма. В настоящее время, как и несколько веков назад, известно только 5 простых чисел Ферма: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂=17, F₃=257 и F₄=65537. (П. Ферма, чьим именем названы эти числа, полагал, что все они простые, однако Л. Эйлер указал, что число Ферма F₅ = 2³² + 1 = 641·6700417.) Построение правильного 257-угольника, занимающее около полусотни страниц, описал сам Гаусс.

ПАРКЕТЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рис. 1,а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Столь же просты паркеты из правильных треугольников и шестиугольников (рис. 1,б и 1,в).

Рис. 1

Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 2,а) Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников (рис. 2,б).

Рис. 2

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее можно наложить на саму себя не «тривиальным» способом (т.е. не таким, когда все точки останутся на своем месте).

Например, на рис. 2,б, повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на 60° вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон.