Энциклопедический словарь юного математика

С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис. 1,в) можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь паркет в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рис. 3, и оставив все остальные неподразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение: паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую заданную его вершину. Оказывается, что все многообразие правильных паркетов можно описать. Если длина h стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Все они изображены на рис. 1, 2, 4.

Рис. 3

Рис. 4

МНОГОЧЛЕН

Многочленом P(x) от одной переменной x называют выражение вида

P(x) ≡ a₀ + a₁x + a₂x²+...+ a_nxⁿ, a_n ≠ 0.    (1)

Число n называют степенью многочлена, a_n – старшим коэффициентом, a₀ – свободным членом.

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:

( a₀ + a₁x + a₂x²+...) + ( b₀ + b₁x + b₂x²+...) =

(a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x +...;     (2)

(a₀ + a₁x + a₂x² + ...)(b₀ + b₁x + b₂x² + ...) =

a₀b₀ + (a₀b₁ + a₁b₀)x + (a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀)x² + .... (3)

Нетрудно проверить, что свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

P(x)Q(x) = Q(x)P(x)

(P(x) + Q(x)) + R(x) = P(x) + (Q(x) + R(x))

(P(x)Q(x))R(x) = P(x)(Q(x)R(x))

P(x)(Q(x) + R(x)) = P(x)Q(x) + P(x)R(x)

Уравнение вида P(x)=0, где P(x) – многочлен n-й степени от x, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число x₀, такое, что P(x₀)=0, называют корнем многочлена. В 1799 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена P(x) (с действительными коэффициентами) на двучлен x-a равен P(a). Отсюда, в частности, получается, что если a - корень многочлена P, то P(x) делится без остатка на x-a. Наибольшая степень k такая, что многочлен P(x) делится на (x-a)^k, называется кратностью корня a. Так как при делении многочлена степени n на двучлен x-a получается многочлен степени n-1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:

a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ = a_n(x-a₁)^k1(x-a₂)^k2...(x-a₅)^k5,      (4)

где a₁,a₂,...,a₅ - корни многочлена, k₁, k₂,..., k₅ = n, k_i - кратность корня a_i. Можно доказать, что если a+bi – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и a-bi - также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (x-a-bi) и (x-a+bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (x - a - bi)(x - a + bi) = (x-a)² + b². Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями x¹,x²,...,xⁿ уравнения

xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+...+ a_n-1x + a_n = 0

и его коэффициентами:

x₁ + x₂ + ... + x_n = -a₁

x₁x₂ + x₁x₃ + ... + x_n-1x_n = a₂

x₁x₂x₃ ... x_n = (-1) ⁿa_n

Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена x² + px + q соотношения имеют вид

x₁ + x₂ = -p

x₁x₂ = q

где x₁ и x₂ - корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П. Л. Чебышев.