Энциклопедический словарь юного математика

Самые распространенные в окружающем нас мире многогранники, конечно, имеют специальные названия. Так, n-угольная пирамида имеет n-угольник в основании и n боковых треугольных граней, сходящихся в общей вершине треугольников (рис. 4,а, где n = 4); n-угольная призма ограничена двумя равными, параллельными и одинаково расположенными n-угольниками – основаниями – и n параллелограммами – боковыми гранями, соединяющими соответственные стороны оснований (рис. 4,б, где n = 3).

Промежуточное положение между пирамидами и призмами занимают усеченные пирамиды, получающиеся из пирамид отсечением меньших пирамид параллельными основаниям плоскостями (рис. 5). Среди природных форм кристаллов встречаются диэдры, или бипирамиды, составленные из двух пирамид с общим основанием (рис. 4,в). Архимед рассматривал также n-угольные антипризмы, ограниченные двумя параллельными, но повернутыми друг относительно друга n-угольниками и соединяющими их, как показано на рис. 6, 2n-треугольниками (при большом n антипризма похожа на пионерский барабан — рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Как и многоугольники, многогранники классифицируют также по степени их симметричности. Среди пирамид выделяют правильные: в основании у них лежит правильный многоугольник, а высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания,- попадает в центр основания пирамиды.

Аналогом параллелограмма является параллелепипед; так же как параллелограмм, параллелепипед имеет центр симметрии, в котором пересекаются и делятся пополам все четыре диагонали (отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани). Правильные призмы в основаниях имеют правильные многоугольники, расположенные так, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна плоскостям оснований. Так же должны быть расположены и основания правильной n-угольной антипризмы, но только одно основание должно быть повернуто на угол 180°/n = π/n относительно другого. Все правильные многогранники имеют довольно много самосовмещений – поворотов и симметрий, переводящих многогранник в себя. Совокупность всех самосовмещений, считая и тождественное, образует так называемую группу симметрий многогранника. По группам симметрий в кристаллографии классифицируют монокристаллы, имеющие, как правило, многогранную форму.

Симметричность, правильность рассмотренных выше многогранников не совсем полные – у них могут существовать неравные грани, разные многогранные углы. Исключение составляют три многогранника: правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками (рис. 7,а); куб, или правильный гексаэдр, - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис. 7,б); наконец, октаэдр – правильный четырехугольный диэдр с равными ребрами, ограниченный восемью правильными треугольниками (рис. 7,в); октаэдр можно определить и как правильную треугольную антипризму с равными ребрами. В отличие от произвольных правильных пирамид, призм, диэдров и антипризм – тетраэдр, куб, октаэдр таковы, что любые их две грани (и любые два многогранных угла) можно совместить с помощью некоторого самосовмещения всего многогранника. Кроме того, их многогранные углы правильные, т.е. имеют равные плоские и равные двугранные углы.

Рис. 7

Аналогично правильным многоугольникам на плоскости можно определить и правильные многогранники «вообще»: это выпуклые многогранники, ограниченные равными правильными многоугольниками и имеющие равные правильные многогранные углы. Оказывается, кроме трех названных выше видов правильных многогранников – правильного тетраэдра, куба и октаэдра – существуют еще только два вида правильных многогранников: додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник), ограниченные соответственно 12 правильными пятиугольниками и 20 правильными треугольниками, - рис. 8,а,б. Эти два многогранника связаны между собой так же, как куб и тетраэдр (см. Куб): центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра – рис. 9, - и наоборот.

Рис. 8

Рис. 9

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.