Энциклопедический словарь юного математика

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр – воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((K Al SO₄)₂·12H₂O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: как уже говорилось, его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра – рис. 9.

МНОГОУГОЛЬНИК

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной A₁A₂...A_nA₁, не имеющей точек самопересечения, называется многоугольником или n-угольником ( n≥3). Звенья ломаной – отрезки A₁A₂,...,A_nA₁ – называются сторонами, точки A₁,...,A_n – вершинами, углы между лучами, проведенными из каждой вершины в соседние, - углами многоугольника (рис. 1).

Рис. 1

Общим свойством n-угольников является неизменность суммы их (внутренних) углов:

A₁ + A₂ + ... + A_n = (n-2)·180° = (n-2)π.

С древних времен многоугольники принято классифицировать и называть соответственно степени их симметричности, правильности. Среди треугольников выделяют равнобедренные (с одной осью симметрии) и равносторонние, или правильные (с тремя осями симметрии) (рис. 2). Четырехугольники, имеющие центр симметрии, называют параллелограммами. Конечно, такое определение эквивалентно школьному: параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) не параллельны, именуют трапецией.

Рис. 2

Можно доказать, что больше одного центра симметрии многоугольник иметь не может, а вот осей симметрии может быть любое число. Четырехугольники с единственной осью симметрии бывают двух видов: равнобедренные (или равнобокие) трапеции и дельтоиды (или ромбоиды) (рис. 3). Параллелограммы, имеющие оси симметрии, подразделяются на ромбы (параллелограммы с равными сторонами), прямоугольники (параллелограммы с равными - прямыми - углами) и квадраты (ромбы с прямыми углами или прямоугольники с равными сторонами); осей симметрии у них 2 или 4 (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

При произвольном n≥3 рассматривают правильные n-угольники: у них все стороны и все (внутренние) углы равны. Правильный n-угольник можно получить, разделив окружность на n равных дуг и соединив соседние точки деления (рис. 5). Центр этой (описанной) окружности называется центром правильного n-угольника; через него проходят n осей симметрии n-угольника.

Рис. 5

Если при данном n ≥ 5 соединить не соседние, а следующие через m дуг точки деления окружности, где 1 < m < n/2, то проведенные n хорд образуют фигуру, которую обозначают символом {n/m}. На рис. 6 и 7 изображены пентаграмма {5/2} и октаграмма {8/2}.

Рис. 6

Рис. 7

Еще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного n-угольника M_n с помощью циркуля и линейки (см. Геометрические построения). Построения M₃,M₄ и M₆ очень просты и показаны на рис. 8. Конечно, построение M_n эквивалентно делению окружности на n равных дуг. Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла, поэтому по правильному k-угольнику легко построить 2k-угольник, затем 4k-угольник и, вообще, M_n при любом n = k·2^m. Следовательно, предыдущие построения дают возможность построить две серии правильных n-угольников: при n = 3·2^m и n = 4·2^m, где m ≥ 0, - а общую задачу построения M_n достаточно решить лишь для нечетных n.

Рис. 8