Энциклопедический словарь юного математика

Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел. Для чисел a₁,a₂,...,a_n оно обозначается [a₁,a₂,...,a_n] Например: [4,6]=12, [21,42,63]=126. Если числа a и b одного знака, то [a,b]=ab/(a,b), где (a,b)- наибольший общий делитель чисел a и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел a и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел a и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и kl раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел a и b.

Пример. Найдем [100,150 и 108]:

При сложении дробей мы обычно приводим их к общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей.

НЕИЗВЕСТНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЕ

Исключением неизвестного называют переход от системы алгебраических уравнений к системе (уравнению, совокупности уравнений), которая не содержит этого неизвестного и является следствием исходной системы. Для того чтобы иметь возможность вычислить исключенное неизвестное, к полученной системе добавляют одно или несколько уравнений из исходной системы (см. Линейное уравнение).

Для решения линейных систем широко применяют метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в следующем. Можно считать, что в первом уравнении системы коэффициент при неизвестном x₁ отличен от нуля - в противном случае можно просто перенумеровать неизвестные. Разделим каждый член первого уравнения на этот коэффициент, а затем из каждого из остальных уравнений системы вычтем почленно полученное уравнение, умноженное на коэффициент при x₁ в уравнении, из которого вычитается первое уравнение. Тогда во всех уравнениях получившейся системы, кроме первого, коэффициент при x₁ будет равен 0. Другими словами, мы исключили из этих уравнений неизвестное x₁. Теперь если во втором уравнении нет ненулевого коэффициента при неизвестных, то возможны два случая: 1) уравнение имеет вид 0·x₁+0·x₂+...+0·x_n=0 (где n - число неизвестных), так как этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел, то его можно просто вычеркнуть из системы; 2) если это уравнение имеет вид 0·x₁+0·x₂+...+0·x_n=b, где b≠0, то рассматриваемая система, а следовательно, и исходная система несовместны. Если же во втором уравнении есть неизвестное, при котором коэффициент не равен 0, то его можно принять за x₂ и исключить x₂ из всех уравнений, кроме второго и первого. Продолжая этот процесс, мы либо когда-нибудь встретим уравнение вида 0=b, где b≠0, и тем самым узнаем, что исходная система не имеет решений; либо (так как число уравнений, из которых исключаются неизвестные, каждый раз уменьшается) придем к системе m уравнений с n переменными (равносильной исходной) вида

x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃+... + a_1nx_n  =  b₁,  (1)

x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n  =  b₂,

x_m + ... + a_nnx_n  =  b_n,

где m≤n. Если m=n, то систему такого вида называют треугольной; при этом из последнего уравнения можно найти x_n (x_n=b_n), затем из предпоследнего уравнения найти x_n-1=b_n-1-a_n-1, x_n-2 и т.д. Таким образом, однозначно находятся все неизвестные и система имеет в точности одно решение. Если же mm+1,x_m+2,...x_n можно придать любые значения, а затем, как и в предыдущем случае (однозначно), выразить через них остальные неизвестные, следовательно, в этом случае система имеет бесконечно много решений.

Метод последовательного исключения неизвестных для решения систем был в древности известен в Китае: ряд задач, решаемых аналогичным методом, помещен в трактате «Арифметика в девяти главах» (около II в. до н.э.). Естественно, что в этом трактате в основном рассматривались системы с целыми коэффициентами. Для исключения неизвестных все уравнения (кроме выбранного) предварительно умножались на коэффициент при исключаемом неизвестном в выбранном уравнении. Это делалось для того, чтобы после исключения неизвестного снова получалась система с целыми коэффициентами. Так обычно поступают и в наши дни при решении систем с целыми коэффициентами.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ