Энциклопедический словарь юного математика

Рассмотрим теперь уравнение x² + x - 3 = 0. Этому уравнению соответствует точка (1;-3), и она не лежит ни на одной из прямых, показанных на рис. 5. В этом случае поступаем так. Заметим, что точка (1;-3) лежит внутри четырехугольника ABCD, образованного прямыми с пометками -2,5; -2; 1 и 1,5 (рис. 5). Точкам этого четырехугольника соответствуют уравнения с двумя действительными корнями, один из которых попадает в интервал ]1;1,5[, а другой - в интервал ]-2,5; -2[. Корни уравнения x² + x - 3 = 0 также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:

x₁ ≈ (1,5+1)/2 = 1,25; x₂ ≈ (-2-2,5)/2 = -2,25.

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола q = 1/4 p² также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями x₁ = x₂ = a соответствует точка (-2a,a²), лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

НОРМАЛЬ

Нормаль - прямая, проходящая через заданную точку кривой перпендикулярно касательной к этой кривой (рис. 1). Так, нормалями к окружности будут прямые, идущие по ее радиусам. Уравнение нормали в точке M(x₀,y₀) к кривой на плоскости, заданной уравнением y=f(x), записывается через производную функции в виде

.

Рис. 1

Если рассмотреть нормали к пространственной кривой в данной точке, то они заполнят целую плоскость - плоскость, перпендикулярную к касательной в данной точке; она называется нормальной плоскостью к кривой (рис. 2). Важную роль в приложениях имеет нормаль к поверхности в заданной ее точке - прямая, перпендикулярная касательной плоскости в этой точке (рис. 3). Когда мы говорим о силе трения, то выражаем ее через силу «нормального давления», т.е. давления, направленного по нормали к поверхности. В законе отражения света: угол падения равен углу отражения - рассматриваемые углы являются углами между нормалью в данной точке и направлениями падающего и отраженного лучей (рис. 4).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

НУЛЬ

Нуль - это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Название «нуль» происходит от латинского слова nullus, что означает «никакой». Обозначается нуль знаком 0. Как цифра в записи многозначного числа или десятичной дроби нуль употребляется для обозначения отсутствия единиц определенного разряда (см. Системы счисления). Основное свойство, которое характеризует нуль как число, заключается в том, что любое число при сложении с нулем не меняется. Другие свойства числа нуль: a·0 = 0; a - 0 = 0; если ab = 0, то a = 0 или b = 0.

У нуля своя долгая и интересная история. Уже в поздней вавилонской письменности (V в. до н. э.) был специальный знак , обозначавший отсутствующий разряд в записи числа. Это - далекий предок нуля. Греческие астрономы переняли у вавилонян шестидесятеричную систему счисления, но вместо клиньев они для обозначения цифр употребляли буквы. При этом для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда они употребляли букву о - первую букву греческого слова «оуден», означающего «ничто». И наконец, запись чисел в десятичной системе с использованием того обозначения нуля, которым мы пользуемся теперь, появилась у индийцев в V-VI вв.

Долгое время нуль не признавали числом. Например, Диофант (III в.) не считал нуль корнем уравнения, так же как математики в средние века. Лишь к XVII в. с введением метода координат нуль начинает выступать наравне с остальными числами, положительными и отрицательными: все они изображаются точками числовой оси.

НЬЮТОНА БИНОМ

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена (a + b)² = a² + 2ab + b² знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на a+b и раскрыть скобки, то получим:

(a+b)³ = (a²+2ab+b²)(a+b) = a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³, т.е. (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.