Энциклопедический словарь юного математика

1 - cos x ≤ x²/2, т.е. cos x ≥1 - x²/2;

sin x ≥ x - x³/(2·3);

1 - cos x ≥ x²/2 - x⁴/(2·3·4), т.е. cos x ≤ 1 - x²/2 + x⁴/(2·3·4);

sin x ≤ x - x³/(2·3) + x⁵/(2·3·4·5) и т.д.

Таким образом, мы получаем, что sin x заключен между суммой первых k и первых k+1 членов ряда

(где n! = 1·2·...·n)

(при любом k = 1,2,...); точно так же для cos x аналогичные оценки дает ряд

1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ....

Мы говорили выше о способах получения тождественных неравенств. Если же записано какое-то неравенство вида

f(x) > g(x),

где f и g - любые функции, x - переменная, то при некоторых значениях x оно будет верно, при других - нет.

Решить такое неравенство - значит найти множество X всех значений переменной x, при которых оно верно. Задачи на решение неравенств подробно изучаются в школьном курсе. Между решением неравенств и решением уравнений много общего - неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество X решений неравенства, как правило, бесконечно (отрезок, луч, объединение нескольких отрезков). Сделать полную проверку ответа в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к эквивалентному ему неравенству - имеющему в точности то же множество решений. Для этого, опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Скажем, можно применить к обеим частям операцию возвышения в куб, но нельзя - операции возвышения в квадрат (если только не известно, что обе части его заведомо положительны); вообще неравенства f < g и F(f) < F(g) эквивалентны, если функция F неубывающая.

Однако если мы умеем решать уравнение f(x) = g(x), то решить неравенство f(x) > g(x), как правило, не представляет труда: в этом помогает «метод интервалов». Будем говорить о неравенстве вида f(x) > 0 (мы можем перенести все члены в левую часть). Пусть функция f определена и непрерывна на всей прямой или на области D, состоящей из нескольких (конечных или бесконечных) отрезков. Так будет для всех элементарных функций. Отметим корни уравнения f(x) = 0; они разбивают область определения функции f на ряд интервалов, в каждом из которых f сохраняет знак. Какой именно знак имеет f(x) в каждом из интервалов, можно выяснить, подставив в f(x) одно (любое) значение x из этого интервала. Остается выбрать те интервалы, в которых f(x) положительно, - это будет искомое множество X.

Например, чтобы решить неравенство

,

заметим, что знаменатель x³ - 2x + 1 = (x-1)(x² + x - 1) обращается в 0 при x = (-1±√5)/2 и x=1, а вся дробь обращается в 1 при x=0 и x = 2. Остается на каждом из 6 кусочков, на которые делят прямую эти пять точек, найти знак дроби

,

как это и бывает обычно (кроме исключительных случаев «кратных корней»), знаки чередуются. (Ответ: X состоит из трех множеств: x < (-1-√5)/2, 0 < x < (-1 + √5)/2 и 1 < x < 2.)

Еще проще применять «метод интервалов», если заранее известно, где функция убывает, а где - возрастает, и известен ее график. Например, неравенство sin x ≤ c будет выполнено на отрезках между корнями x = (-1)ⁿ arcsin c + πn уравнения sin x = c (здесь |c| ≤ 1), содержащих точки -π/2 + 2πn. На рис. 5 множество решений - объединение отрезков [-arcsin c + (2n - 1)π; arcsin c + 2πn], n = 0,±1,....

Рис. 5

НОМОГРАФИЯ

Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.

Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.

Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция y=f(x). Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента x, и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению x, для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномерно, их расположение зависит от выбранной функции y=f(x). Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции y = 2^-x.

Рис. 1