Энциклопедический словарь юного математика

Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой x, то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки x, в точности дает значение функции y=f(x). Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.

Рис. 2

На рис. 3 изображена номограмма для уравнения 1/x + 1/y = 1/z, которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям x и z, по номограмме находим значение y (на рис. 3 значение x = 7,5, a z = 3 и тем самым y = 5). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.

Рис. 3

На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения x² + px + q = 0. Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения x² + p₀x + q₀ = 0, нужно на оси p взять точку M с пометкой p₀, на оси q - точку N с пометкой q₀ и провести прямую (MN). Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай p = , q = -9). Построенная прямая (MN) может пересекаться с кривой Г в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой Г ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения x² + px + q = 0 надо, сделав замену переменной x = -t, искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения t² - pt + q = 0. Если значения коэффициентов p и q по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается |p|≤12,6, |q|≤12,6), то следует сделать замену переменной x = kt и перейти от уравнения x² + px + q = 0 к уравнению

t² + (p/k) t + q/k² = 0;

число k выбирается таким образом, чтобы числа p/k и q/k² были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения x² + px + q = 0 близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной x = kt. Так, для уравнения x² - 0,86x + 0,16 = 0 значения корней по номограмме найти трудно. Положив x = 0,2t, получим уравнение t² - 4,45t + 4 = 0; его корни t₁ ≈ 1,2; t₂ ≈ 3,2, откуда x₁ ≈ 0,24, x₂ ≈ 0,64.

Рис. 4

Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида x² + px + q = 0. Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы

q = 1/4 p².

Рис. 5

Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению x² + px + q = 0 однозначно ставится в соответствие точка (p;q) плоскости Opq, и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка (p;q) попадает внутрь параболы, т.е. если

q > 1/4 p²,

то уравнение x² + px + q = 0 не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка (p,q) лежит во внешней области параболы q < 1/4 p². Если q = 1/4 p², т. е. точка (p,q) лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение x² - 0,5x - 3= 0. Через точку (0,5;-3) проходят на номограмме две прямые с пометками -2 и 1,5; тем самым числа -2 и 1,5 являются корнями нашего уравнения.