Энциклопедический словарь юного математика

Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент x_n некоторого множества. Последовательность записывается в виде x¹,x²,...,xⁿ, или кратко (x_n). Элементы x¹,x²,...,xⁿ называются членами последовательности, x₁ - первым, x₂ - вторым, x_n - общим (n-м) членом последовательности.

Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности x_n через его номер n. Например, если

, то x₁ = 1/3, x₂ = 3/4, x₃ = 1, x₁₀ = 19/12.

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:

, .   (1)

Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера n (то, что n неограниченно возрастает, записывается в виде n → ∞ и читается: «n стремится к бесконечности»).

Рассмотрим последовательность с общим членом x_n = 1/n: x₁ = 1, x₂ = 1/2, x₃ = 1/3, …, x₁₀₀ = 1/100, …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше n, тем меньше x_n отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании n стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.

Другой пример: x_n = (-1)ⁿ /n - определяет последовательность

x₁ = -1, x₂ = 1/2, x₃ = -1/3, x₄ = 1/4, ….

Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.

Рассмотрим еще пример: x_n = (n-1)/(n+1). Если представить x_n в виде

,    (2)

то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.

Дадим определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности (x_n), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если a есть предел последовательности (x_n), то пишут , или  (lim - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число a в интервал (a - ε, a + ε) (рис. 1). Число a есть предел последовательности (x_n), если независимо от малости интервала (a - ε, a + ε) все члены последовательности с номерами, большими некоторого N, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала (a - ε, a + ε) может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Рис. 1

Для рассмотренной последовательности x_n = (-1)ⁿ /nв ε-окрестность точки нуль при ε = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при ε = 1/100 - все члены последовательности, кроме первых ста.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: x_n = (-1)ⁿ. Ее члены попеременно равны +1 и -1 и не стремятся ни к какому пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа c и d, что все члены последовательности удовлетворяют условию c ≤ x_n ≤ d. Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:

«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье

Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности (x_n) равен a тогда, и только тогда, когда x_n представимо в виде суммы x_n = a + α_n, где α_n - бесконечно малая.

Рассмотренные последовательности (1/n),(-1)ⁿ /n являются бесконечно малыми. Последовательность (n-1)/(n+1), как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую 2/(n+1), и потому предел этой последовательности равен 1.

Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность (x_n) называется бесконечно большой, если последовательность (1/x_n) бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность (x_n) записывают в виде x_n → ∞, или , и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:

Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.