Энциклопедический словарь юного математика

Рассмотрим последовательности (x_n) и (y_n). Можно определить последовательности с общими членами x_n + y_n, x_n - y_n, x_n y_n и (если y_n ≠ 0) x_n/y_n. Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности (x_n) и (y_n) сходящиеся, то сходятся также последовательности (x_n + y_n), (x_n - y_n), (x_ny_n), (x_n/y_n) и имеют место равенства:

В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности (y_n) были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие .

Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом

.

Представив x_n в виде

,

установим, что предел числителя и знаменателя существует:

поэтому получим:

.

Важный класс последовательностей - монотонные последовательности. Так называют последовательности возрастающие ( x_n+1 > x_n при любом n), убывающие (x_n+1 < x_n), неубывающие (x_n+1 ≥ x_n) и невозрастающие (x_n+1 ≤ x_n). Последовательность (n-1)/(n+1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Представим себе, что последовательность (x_n) не убывает, т. е. выполняются неравенства

x₁≤x₂≤x₃≤...≤x_n≤x_n+1≤...,

и пусть, кроме того, эта последовательность ограничена сверху, т.е. все x_n не превосходят некоторого числа d. Каждый член такой последовательности больше предыдущего или равен ему, но все они не превосходят d. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше d, либо равно d. В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается π.

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число e - основание натуральных логарифмов:

.

Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен a, то число a должно удовлетворять равенству . Решая это уравнение, получаем a = 2.

ПРЕДЕЛ

Предел - важнейшее понятие математики. Говорят, что число a есть предел переменной величины x, если в процессе своего изменения x неограниченно приближается к a. Поясним это примерами.

В равнобедренный треугольник впишем окружность (рис. 1), диаметр этой окружности обозначим x₁. К окружности параллельно основанию проведем касательную и получим треугольник, подобный данному. В этот треугольник снова впишем окружность, диаметр ее обозначим x₂, проведем к ней касательную, параллельную основанию, и в полученный меньший треугольник опять впишем окружность. И так далее. Такие построения можно продолжать неограниченно долго и в результате получить последовательность вписанных все уменьшающихся окружностей и соответствующую им последовательность длин их диаметров: x₁,x₂,x₃,....

Рис. 1

Эта последовательность длин диаметров дает пример переменной величины x_n, которая в процессе своего изменения, т. е. с возрастанием номера n, неограниченно приближается к нулю. Предел этой последовательности равен нулю: a = 0.

С рассмотренной последовательностью вписанных окружностей свяжем другую переменную величину y_n последовательность сумм их диаметров:

y₁ = x₁

y₂ = x₁ + x₂

y₃ = x₁ + x₂ + x₃

........................

Будет ли эта переменная стремиться к какому-нибудь пределу? Утвердительный ответ последует, если мы рассмотрим рис. 2 (здесь все диаметры повернуты на угол 90°): предел последовательности y_n равен h - длине высоты равнобедренного треугольника, a = h.

Рис. 2

Теперь представим себе математический маятник (рис. 3). Выведем его из положения равновесия - отклоним от вертикальной прямой и отпустим. Маятник начнет совершать колебания относительно положения равновесия, причем из-за трения и сопротивления воздуха размах колебаний будет постепенно уменьшаться. Если характеризовать положение маятника величиной x его отклонения от вертикальной прямой (амплитудой), считая x положительной справа и отрицательной слева, то получим пример переменной величины x, которая в процессе своего изменения стремится к нулю. Ее предел a равен нулю. Заметим, что переменная x есть функция времени, а поскольку время течет непрерывно, то говорят, что это функция непрерывного аргумента.

Рис. 3