Энциклопедический словарь юного математика

В практической деятельности мы постоянно имеем дело с приближенными величинами, равенствами, формулами: строим по точкам графики, извлекаем корни из чисел, решаем уравнения и т.д. В теории приближенных вычислений, которая в наши дни быстро развивается, особое значение имеют методы, пригодные для решения широкого класса математических задач. Расскажем о некоторых таких методах.

Вычисление длины окружности при помощи формул удвоения - конкретный пример алгоритма для получения приближенных значений числа π. Этот метод интересен и с исторической точки зрения, так как, возможно, это один из самых старых приемов приближенных вычислений. Формула удвоения связывает длины сторон a_n и a_2n правильных n- и 2n-угольников, вписанных в окружность (диаметр равен 1):

, n≥3,

и позволяет, начав с правильного шестиугольника, длина стороны которого равна 1/2, вычислять последовательно a₁₂,a₂₃,a₄₈,..., пока не придем к значению периметра, отвечающему заданной точности вычислений. При этом можно доказать, что

π - na_n < 6/n², n≥3.

Это неравенство позволяет не только установить тот факт, что процесс сходится (т.е. π-na_n → 0 при n → ∞), но и спланировать вычисления заранее. Так, если нам нужно обеспечить точность вычислений, равную 10^-3, то достаточно взять n таким, чтобы выполнялось неравенство 6/n² < 10^-3, т.е. , или .

Метод вилки, применяемый при нахождении корней уравнения f(x) = 0 для непрерывных функций f, носит довольно общий характер. Пусть f определена и непрерывна на отрезке [a,b], имеет там единственный корень и f(a) < 0, f(b) > 0. Рассмотрим значение f(z), где z = (a + b)/2 - середина отрезка [a,b]. Если f(z) = 0, то z - искомый корень. Если же f(z) ≠ 0, то из двух отрезков [a,z] и [z,b] выберем тот, для которого значения функции f на его концах имеют разные знаки (на рис. 1 это отрезок [a,z]), и обозначим его через [a₁,b₁]; тем самым f(a₁) < 0 и f(b₁) > 0. Если теперь взять точку z₁ = (a₁ + b₁)/2, то снова или f(z₁) = 0, или f(z₁) ≠ 0. Во втором случае из двух отрезков [a₁,z₁] и [z₁,b₁] выбираем тот, на концах которого функция f принимает значения разных знаков (на рис. 1, [a₂,b₂] = [a,z₁]). Если мы будем продолжать этот процесс, то он или оборвется на некотором шаге, или мы получим последовательность вложенных отрезков [a,b], [a₁,b₁], [a₂,b₂],…, для которых a_n ≤ a_n+1 < b_n+1 ≤ b_n, причем всегда f(a_n) < 0 и f(b_n) > 0. Из геометрических соображений ясно, что

, f(c) = 0.

Рис. 1

Кроме того, имеем неравенства:

, ,

которые позволяют планировать расчеты с заданной точностью.

Применение производной при изучении поведения функции позволяет получить много полезных формул для приближенного вычисления значений функций. Из определения производной следует, что при малых приращениях Δx аргумента x₀ для функции f можно написать приближенное равенство

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx

Геометрически это означает, что вблизи точки x = x₀ мы график функции y=f(x) заменили графиком касательной к графику y=f(x) в точке с абсциссой x = x₀ (рис. 2).

Рис. 2

Так, например, получаются приближенные формулы (эффективные для малых Δx):

1. .

2. sin Δx ≈ Δx (f(x) = sin x, x₀ = 0).

3. ln (1+ Δx) ≈ Δx (f(x) = ln x, x₀ = 1).

Метод касательных Ньютона для приближенного решения уравнений f(x) = 0 состоит в следующем. Предположим, что функция f имеет единственный корень c в интервале ]a,b[ и дифференцируема в каждой точке интервала ]a,b[ и f'≠0 в этом интервале. Возьмем произвольную точку x₀ ∈ ]a,b[ и напишем уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой x = x₀:

y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).

Графики f(x) и ее касательной близки между собой при малых x-x₀, и поэтому естественно ожидать, что точка x₁ пересечения графика касательной с осью абсцисс будет расположена недалеко от корня c (рис. 2). Имеем:

.

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность (x_n) точек, определенных при помощи формулы

, n = 1,2,3,....

Известно, что имеет место также неравенство |x_n+1 - c| ≤A·|x_n - c|², где A>0 - некоторая постоянная, не зависящая от n. Это неравенство показывает, что уже при достаточно малых n получается достаточно высокая точность приближений.

Приближенное вычисление площадей (интегралов) криволинейных трапеций (рис. 3,а) основано на простых геометрических рассмотрениях. Если отрезок [a,b], a>b, достаточно мал, то для вычисления площади S криволинейной трапеции для заданной непрерывной функции f на этом отрезке можно, заменив криволинейную трапецию прямоугольником (рис. 3,б) или прямолинейной трапецией (рис. 3,в), написать следующие приближенные равенства:

Рис. 3