Энциклопедический словарь юного математика

Все эти примеры показывают, что приближение переменной величины к своему пределу может быть различным. Последовательность 753(x_n) диаметров стремится к нулю, оставаясь все время больше нуля. Последовательность y_n сумм диаметров, напротив, все время меньше длины высоты h, к которой она стремится. А переменная величина x то больше нуля, то меньше нуля, то равна нулю - своему пределу. Общее же в этих примерах то, что абсолютная величина разности предельного значения и значения переменной, т.е. величина |x - a|, в каждом случае становится и остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

Понятие предела опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения и, конечно, в таком виде не является математически строгим. Точное математическое определение предела оформилось в математике лишь в начале XIX в. В связи с этим потребовалось уяснить понятие функции, а также развить теорию действительного числа. До этого почти два столетия в математике существовало интуитивное представление о пределе, однако и оно оказалось чрезвычайно плодотворным, так как внесло в математику совершенно новый метод рассуждений - метод пределов. Его применение и развитие привели к созданию дифференциального исчисления и интегрального исчисления, к созданию математического анализа.

Суть этого метода состоит в том, что для определения неизвестной величины находят ее приближения, при этом не одно-два, а неограниченное число таких приближений. Если эти приближения становятся все более точными, отличаются от определяемой величины все меньше и меньше, то сама величина находится как предел этих приближений.

Подобных рассуждений древнегреческая математика не знала. Если в ней и рассматривались приближения, как, например, у Евдокса и Архимеда в их «методе исчерпывания» при определении площадей и объемов, то число этих приближений было невелико, и, кроме того, установление равенства между искомой площадью (или объемом) и уже известной проводилось элементарными геометрическими методами (см. Кавальери принцип). Теперь же, в методе пределов, строятся бесконечные приближения и неизвестная величина определяется как предел.

Чтобы дать представление о методе пределов, рассмотрим задачу, которая не может быть решена методами элементарной математики. Требуется определить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, дугой параболы, уравнение которой y=x², и прямой x = a (рис. 4). Разделим отрезок [0,a] на n равных частей длиной h = a/n, на каждой из этих частей построим прямоугольник, левая вершина которого лежит на параболе. Найдем сумму площадей всех таких прямоугольников, т.е. найдем площадь заштрихованной фигуры:

(здесь использована формула для суммы квадратов первых k натуральных чисел, известная еще Архимеду).

Преобразуем выражение для S_n к виду

S_n = a³/3 + a³/6 · 1/n² - a³/2 ·1/n.

Легко понять, что сумма двух последних слагаемых стремится к нулю при неограниченном увеличении n и, значит, S_n стремится к величине a³/3. Как видно из рис. 4, сумма площадей заштрихованных прямоугольников при неограниченном увеличении числа n таких прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной фигуры. Следовательно, искомая площадь также равна a³/3, т.е. равна пределу последовательности S_n.

Рис. 4

Метод пределов не возник в математике сам собой, он оформился постепенно в результате труда многих математиков, которые начали рассматривать новые для своего времени задачи, не решаемые элементарными методами. Это были задачи определения размеров тел и центра их тяжести, нахождения длин кривых, построения касательных к кривым, нахождения мгновенной скорости при неравномерном движении. Постепенно накапливался опыт и вырабатывались приемы решения подобных задач в общей постановке, например задач, когда требовалось определить мгновенную скорость не в данном конкретном движении, а в любом, если только была известна зависимость пути от времени. Это привело к формированию на основе понятия предела новых понятий интеграла и производной, к созданию математического анализа. Очевидно, что с применением метода пределов потребовалось развить способы вычисления пределов, установить правила действий с пределами, т.е. создать теорию пределов. Основным понятием в этой теории стало понятие бесконечно малой - переменной, предел которой равен нулю. В этот период математический анализ назывался анализом бесконечно малых.