Энциклопедический словарь юного математика

Если предел переменной величины x равен a, то пишут x → a (читается: «x стремится к a») либо lim x = a (читается: «предел x равен a»); lim - это первые три буквы латинского слова limes, которое и означает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г., а выражение  первым записал англичанин У. Гамильтон в 1853 г. Для последовательности, как правило, под знаком предела ставят символ n → ∞, т.е. пишут , что означает «предел x_n при неограниченном возрастании n». Для функции под знаком предела указывают, к какому значению стремится аргумент, т.е. пишут . Это читается так: «предел функции x(t) при стремлении t к t₀».

В теории пределов изучаются свойства пределов, устанавливаются условия, при которых предел переменной существует, находятся правила, по которым, зная пределы нескольких простых переменных величин, можно вычислять пределы функций этих величин.

Сформулируем некоторые теоремы теории пределов.

1. Переменная в заданном процессе изменения может иметь только один предел.

2. Для того чтобы предел переменной x был равен a, необходимо и достаточно, чтобы разность x-a была бесконечно малой.

Пусть переменные x,y,z рассматриваются в одном и том же процессе изменения (это могут быть последовательности x_n,y_n,z_n или функции x(t),y(t),z(t)), тогда:

3. если lim x = lim y = a и в каждый момент изменения выполняется неравенство x ≤ z ≤ y, то lim z = a;

4. если lim x = a, lim y = b, а c - постоянная, то переменные x+y, x-y, cx, xy имеют предел и

lim(x+y) = a+b, lim(cx) = ca,

lim(x-y) = a-b, lim(xy) = a·b.

Кроме того, если b≠0, то lim x/y = a/b.

В примере определения площади между дугой параболы и осью абсцисс S_n было представлено в виде

S_n = a³/3 + a³/6 · 1/n² - a³/2 ·1/n = a³/3 + α_n

Используя очевидный предел  и теорему 4, можем показать, что , действительно,

А так как разность S_n - a³/3 = α_n есть бесконечно малая, то заключаем: .

Вернемся к рис. 1.

Если взять равнобедренный треугольник, у которого длина боковой стороны в 2 раза больше основания, то для значения длины диаметра x_n и суммы длин диаметров y_n получим выражения:

, y_n = h - h(3/5)ⁿ.

В теории пределов доказывается, что qⁿ → 0, если положительное число q меньше 1, отсюда следует, что

Важный случай представляет собой отношение двух переменных x/z, когда обе одновременно стремятся к нулю, говорят, что тогда имеет место неопределенность вида 0/0.

Рассмотрим функцию y = (sin x)/x, которая, если считать, что x измеряется в радианной мере, определена для всех отличных от нуля x, а при стремлении x к нулю имеет неопределенность вида 0/0.

Возьмем несколько значений углов, близких к нулю: 10°, 5°, 2°, 1°, 30´. По тригонометрическим таблицам найдем соответствующие значения синусов, пересчитаем эти углы в радианной мере (напомним, что градусная мера угла φ связана с его радианной мерой x следующим образом:

x = (π/180)φ = 0,0174φ)

и найдем значения отношения (sin x)/x. Полученные данные представим таблицей (значения даны с точностью до 0,0001):

Величина угла в градусной мере	Величина угла в радианной мере	sin x	(sin x)/x
10°	0,1745	0,1736	0,9948
5°	0,0873	0,0872	0.9988
2°	0,0349	0.0349	1
1°	0,0175	0,0175	1
30´	0,0087	0,0087	1

Данные этой таблицы приводят к мысли, что предел отношения (sin x)/x при стремлении x к 0 равен 1. Доказательство этого может быть получено из неравенства sin x < x < tg x, верного, как видно из рис. 5, для всех положительных x из первой четверти. Из левого неравенства следует (sin x)/x < 1, а из правого cos x < (sin x)/x. Таким образом, получаем, что cos x < (sin x)/x < 1.

Рис. 5

Заметим, что функция y = (sin x)/x четная, поэтому это неравенство оказывается верным и для отрицательных x.

Выражение (sin x)/x оказалось заключенным между cos x и 1, следовательно, отличается от 1 меньше, чем от нее отличается cos x. А так как при стремлении x к нулю cos x стремится к 1, то

(sin x)/x → 1.

Предел  называется замечательным пределом и используется для вычисления многих других пределов. Заметим, что для нахождения пределов отношений с неопределенностью вида 0/0 в теории пределов разработаны методы раскрытия неопределенностей.

В развитии теории пределов принимали участие И. Ньютон, Г. Лейбниц, Ж. Даламбер, Л. Эйлер. Современная теория предела основана на строгом определении предела, данном О. Коши, и была существенно продвинута работами математиков XIX в. К. Вейерштрасса и Б. Больцано (о пределе последовательности см. Последовательность).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ