Энциклопедический словарь юного математика

Пример 1. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путем, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.

Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматриваются числа x,y, удовлетворяющие условию x + y = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов x² + y² будет наименьшей.

Уравнение x + y = 1 определяет на координатной плоскости прямую l (рис. 4). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка A). Если точка M(x;y) прямой l отлична от A, то она лежит вне окружности S и потому |OM| больше радиуса r этой окружности, т. е. x² + y² > r². Если же M = A, то сумма x² + y² равна r², т.е. именно для точки A эта сумма принимает наименьшее значение. Точка A имеет координаты x = y = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи (при n = 2).

Рис. 4

Пусть теперь n = 3. Уравнение x + y + z = 1 определяет в пространстве плоскость α. Рассмотрим сферу S с центром в начале O, касающуюся этой плоскости в некоторой точке A (рис. 5). Для любой точки M ∈ α, отличной от A, ее расстояние от точки O больше радиуса r сферы S, |OM|² > r², и потому x² + y² + z² > r², а при M = A имеем x² + y² + z² = r². Таким образом, именно для точки A сумма x² + y² + z² принимает наименьшее значение. Точка A имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: x → y; y → z, z → x, и плоскость α, и сфера S переходят в себя, а потому их общая точка остается неподвижной). А так как x + y + z = 1, то точка A имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n = 3).

Рис. 5

Рассмотрим, наконец, произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (x₁,x₂,...,x_n), состоящие из n действительных чисел. Уравнение x₁ + x₂ + ... + x_n = 1 определяет в этом пространстве «плоскость» α, имеющую размерность n-1 (например, при n = 3, т.е. в трехмерном пространстве, такое уравнение определяет плоскость размерности 2, т.е. на единицу меньшей размерности, чем все пространство). Математики называют плоскости, имеющие размерность n-1, гиперплоскостями в n-мерном пространстве. Рассмотрим сферу S с центром в начале координат O, касающуюся гиперплоскости α в некоторой точке A. Все точки гиперплоскости α, кроме A, лежат вне сферы S, т.е. находятся от начала координат O на расстоянии, большем, чем радиус r сферы S, а точка A находится от O на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма x₁² + x₂² + ... + x_n² принимает в точке A наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости α. Заметим теперь, что все координаты точки A равны между собой: x₁ = x₂ = ... = x_n (поскольку поворот пространства, переставляющий оси x₁ → x₂, ..., x_n-1 → x_n, x_n → x₁, переводит гиперплоскость α в себя и сферу S тоже в себя, а потому оставляет точку A неподвижной), откуда x₁ = x₂ = ... = x_n = 1/n. Итак, при x₁ + x₂ + ... + x_n = 1 сумма квадратов x₁² + x₂² + ... + x_n² принимает наименьшее значение для x₁ = x₂ = ... = x_n = 1/n.

Разумеется, это геометрическое решение читатель может признать корректным лишь в случае, если он уже владеет понятиями n-мерной геометрии, но характер этого решения и польза n-мерной геометрической интерпретации для рассмотренной алгебраической задачи очевидны.

Пример 2. На три завода З1,З2,З3 (рис. 6) нужно завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах C1,C2 в соответствии с данными, указанными в таблице. Наличие сырья	Потребность в сырье
C1	C2	З1	З2	З3
20т	25т	10т	15т	20т

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т.е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Рис. 6

Решение. Обозначим через x и y количество сырья, которое нужно вывезти со склада C₁ соответственно на заводы З₁, З₂. Тогда со второго склада нужно довезти на эти заводы 10 - x и 15 - y тонн сырья. Так как общее количество имеющегося на складах сырья совпадает с потребностью заводов, т.е. все сырье должно быть вывезено со складов на заводы, то после обеспечения заводов З₁ и З₂ оставшееся на складах сырье полностью вывозится на завод З₃, т.е. со склада C₁ на завод З₃ вывозится 20 - x - y, а со склада C₂  25 - (10-x) - (15-y) = x + y тонн. Учитывая расстояния (рис. 6), находим общее число тонно-километров: