Энциклопедический словарь юного математика

Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, что такое геометрия. Многомерные пространства, несомненно, относятся к области геометрии, поскольку в них математики рассматривают плоскости, прямые, векторы, углы, расстояния, скалярное произведение, перпендикулярность и т. д., т. е. подлинно геометрические понятия. Многомерные пространства и имеющиеся в них гиперплоскости, многогранники и т. п. нельзя назвать отражением пространственных форм реального мира. При всей практической значимости задач о раскрое материала, транспортных задач и т. д. порождаемые ими понятия многомерной геометрии являются лишь «пространственноподобными»; они похожи на то, что мы видим в реальном пространстве, но представляют собой следующую, более высокую ступень абстракции от пространственных форм реального трехмерного мира.

Понятия и факты геометрии постоянно применяются при решении практических задач. И дело не только в том, что, решая задачи по алгебре, математическому анализу или другим областям математики, мы часто делаем геометрические чертежи или используем формулы и теоремы геометрии. Гораздо важнее то, что, сопоставив алгебраические или иные формулы с геометрическими фактами, мы часто можем «увидеть» геометрически решение задачи и найти такие пути рассуждений, предугадать которые, глядя «чисто алгебраически» на нагромождение формул, просто не представляется возможным. Два приведенных выше примера иллюстрируют это. Вообще, характерной чертой современного развития математики является то, что геометрия все больше приобретает роль метода мышления, метода осмысления и организации математической информации буквально во всех областях математики и ее приложений.

ГЕРОНА ФОРМУЛА

Эта формула позволяет вычислить площадь S треугольника по его сторонам a,b и c:

,

где p - полупериметр треугольника, т.е. p = (a + b + c)/2. Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.

Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем что задача на построение четырехугольника по его сторонам a,b,c и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле:

.

Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится

по более простой формуле: .

ГИПЕРБОЛА

Гипербола – одно из конических сечений. Ее также можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух заданных точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, постоянна. Обычно оно обозначается через 2a.

Прямая, проходящая через фокусы (рис. 1), и перпендикулярная ей прямая, равноотстоящая от фокусов, служат осями симметрии гиперболы, а точка их пересечения – ее центром симметрии, называемым также центром гиперболы. Если принять эти прямые за оси координат, выбрав в качестве оси абсцисс прямую, проходящую через фокусы F₁(c,0) и F₂(-c,0), то уравнение гиперболы запишется в виде:

x²/a² - y²/b² = 1, где .

Рис. 1

Точки (a,0) и (-a,0) называются вершинами гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат. Характерной ее особенностью является наличие асимптот – прямых

y = +(b/a)x и y = -(b/a)x,

к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то ее уравнение запишется в виде y=k/x, т. е. в виде хорошо известного уравнения обратной пропорциональной зависимости.

Используя определение гиперболы, нетрудно изготовить простейший прибор для ее вычерчивания. Нужно взять линейку, нить и три кнопки. Две кнопки воткнуть в лист бумаги (рис. 2) – в этих точках будут фокусы гиперболы – и к ним привязать концы нити. Третью кнопку втыкают в линейку около ее края, привязав к ней нить недалеко от середины нити, но не в середине. Если теперь, прижимая нить к краю линейки кончиком карандаша и держа нить все время в натянутом состоянии, двигать карандаш, то его графит будет вычерчивать на бумаге одну из ветвей гиперболы. Заметим, что если нить привязать к третьей кнопке ровно в середине нити, то гипербола вырождается в прямую – срединный перпендикуляр отрезка F₁F₂.

Рис. 2