Энциклопедический словарь юного математика

+	сложение	немецкие математики	конец XV в.
-	вычитание	»	»
×	умножение	У. Оутред	1631
∙	умножение	Г. Лейбниц	1698
:	деление	Г. Лейбниц	1684
a2,a3,...,an	степени	Р. Декарт	1637
	корни	X. Рудольф А. Жирар	1525 1629
Log, log	логарифм	И. Кеплер	1624
sin	синус	Б. Кавальери	1632
cos	косинус	Л. Эйлер	1748
tg	тангенс	Л. Эйлер	1753
arcsin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
dx,ddx,...,d2x,d3x	дифференциал	Г. Лейбниц	1675
∫ydx	интеграл	Г. Лейбниц	1675
dy/dx	производная	Г. Лейбниц	1675
	определенный интеграл	Ж. Фурье	1819-1822
∑	сумма	Л. Эйлер	1755
!	факториал	X. Крамп	1808
	предел	У. Гамильтон многие математики	1853 начало XX в.
φ(x) f(x)	функция	И. Бернулли Л. Эйлер	1718 1734

Знаки отношений

=	равенство	Р. Рекорд	1557
> <	больше меньше	Т. Гарриот	1631
≡	сравнимость	К. Гаусс	1801
||	параллельность	У. Оутред	1677
	перпендикулярность	П. Эригон	1634

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F(x) ее производную F'(x) = f(x). Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции f(x), найти такую функцию F(x), производной которой является функция f(x), т. е. f(x) = F'(x). Такая функция называется первообразной функции f(x).

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией F(x), первообразной для функции f(x), очевидно, будет также любая функция 𝓕(x) = F(x) + C, отличающаяся от F(x) постоянным слагаемым C: ведь 𝓕(x) = F'(x) = f(x).

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если 𝓕(x) = F'(x) на каком-то промежутке a < x < b, то функция 𝓕(x) - F(x) постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная 𝓕'(x) - F'(x) равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции f(x) обозначают символом

∫f(x)dx,

где знак ∫ читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

∫f(x)dx = F(x) + C,    (1)

где F(x) - какая-то первообразная функции f(x) на данном промежутке, а C - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

∫ 2x dx = x² + C; ∫cos y dy = sin y + C; ∫sin z dz = -cos z + C.

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: x,y,z, чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции 2x, cos y, sin z соответственно.