Энциклопедический словарь юного математика

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

------------------------------------------

Если R увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при R → ∞, получаем

,

где ∞ - символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что R₀ - радиус планеты, то  будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для  выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона F=ma, связывающий силу F и вызванное ею ускорение a тела массы m. Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение a = g, вызванное силой притяжения

,

где R₀ - радиус планеты. Значит,

,

откуда следует, что

 и, значит, .

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из ноля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость M, при которой кинетическая энергия mv²/2 тела не меньше или, по крайней мере, равна работе , затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства mv²/2 = mgR₀, выражается в виде

.

В частности, для Земли g ≈ 10m/c², R₀ ≈ 6400000m, поэтому v ≈ 8000·√2 m/c, или v ≈ 11,2 km/c.

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7') Ньютона-Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f, график которой изображен линией AB на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции aABb выражается интегралом (8). Обозначим через 𝓕(x) площадь той ее части, которая лежит над отрезком [a;x].

Рис. 5

Тогда

.    (11)

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через t, чтобы не путать ее с x, являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина 𝓕(x), очевидно, зависит от точки x ∈ [a;b].

Покажем, что 𝓕(x) - первообразная функции f(x) на отрезке [a;b], т.е. 𝓕'(x) = f(x) при x ∈ [a;b]. В самом деле, как видно из рис. 5,

𝓕(x+h) - 𝓕(x) ≈ f(x)·h,

что равносильно приближенному равенству

.

При уменьшении величины h точность этого соотношения только улучшается, поэтому

и, значит,

𝓕'(x) = f(x).