Энциклопедический словарь юного математика

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что a = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

,

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

. (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ox, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf²(ξ_i)·Δx_i (произведение площади πf²(ξ_i) основания на высоту Δx_i). Сумма πf²(ξ₁)·Δx₁ + πf²(ξ₂)·Δx₂ + ... + πf²(ξ_n)·Δx_n дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при Δ → 0. Значит,

.    (10)

Рис. 3

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) a = 0, b = h и f(x) = kx, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k²x³/3 функции f²(x) = k²x² и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

,

где S = π(kh)² площадь круга, лежащего в основании конуса.

Рис. 4

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж d и f! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость M, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m - масса тела, M - масса планеты. Кинетической энергии mv²/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

,

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по  мере удаления от планеты.

Вычислим работу , которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте R₀ (считая от центра планеты), поднять на высоту R.

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R₀ пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R₀;R] точками R₀ = r₀ < r₁ <... n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

на каждом из промежутков [r_i-1;r_i]; сложив элементарные работы

,

получим приближенное значение искомой работы  на промежутке [R₀;R], а точнее значение  выражается, таким образом, следующим интегралом:

,

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G,m,M постоянны, а функция r^-2 имеет первообразную -r^-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ

(1801-1862)

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.